07.pdf

(832 KB) Pobierz
PRZEDMOWA
7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
1
SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
7.
W poprzednich rozdziałach omówiliśmy elementy skończone formułowane za pomocą tzw. współ-
rzędnych uogólnionych. Zakładaliśmy, że przemieszczenia elementu zmieniają się zgodnie z przyjętymi
funkcjami, których współczynniki były traktowane jako uogólnione współrzędne elementu. Przypo-
mnijmy raz jeszcze podstawowe kroki tego sformułowania:
1. Przyjęcie pola przemieszczeń
u ⋅
=
g
c
(7.1)
gdzie „g” oznacza tzw. macierz geometryczną, która gromadzi odpowiednie potęgi wielomianów inter-
polacyjnych, zaś c jest macierzą stałych. Stałe te wyznacza się z warunków brzegowych ( przemiesz-
czenia węzłów muszą być zgodne z wartościami przemieszczeń, wynikającymi z przyjętych funkcji ).
2. Wyznaczenie macierzy stałych „c” (współrzędnych uogólnionych):
= gdzie h
c
,
=
[ i
g
]
dlai=1,2,...,n
edf .
(7.2)
Macierz h jest macierzą kwadratową i nieosobliwą, tak więc z (7.2) można wyznaczyć stałe wielo-
mianów interpolacyjnych jako funkcję przemieszczeń węzłów
c
=
h
−
1 ⋅
d
.
(7.3)
3. Wyznaczenie funkcji kształtu N
u
=
g
⋅
h
−
1
⋅
d
=
N
⋅
d
więc:
N
=
g
⋅
h
−
1
(7.4)
1
2
=-1
=1
N 1
=
1
(
1
−
ξ
2
1
N 2
=
(
1
+
ξ
2
Rys. 7.1. Dwuwęzłowy element kratownicy płaskiej
4. Wyznaczenie macierzy B = L·N
5. Wyznaczenie macierzy sztywności K oraz pozostałych wektorów p b, p 0 lub P T , przy ustalonym
prawie konstytutywnym σ = D·ε .
Formułowanie omawianych w tym rozdziale elementów izoparametrycznych (termin izoparametrycz-
ny znaczy ten sam) jest prostsze i szczególnie atrakcyjne przy definiowaniu nowych elementów.
Główną ideą formułowania elementów izoparametrycznych jest wyznaczenie funkcji interpolujących
(funkcji kształtu), określających relację pomiędzy przemieszczeniami elementu i przemieszczeniami jego
węzłów w sposób bezpośredni, bez konieczności obliczania macierzy h -1 .
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
d ⋅
h
)
)
269457783.002.png
7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
2
Proces formułowania elementu izoparametrycznego zanalizujemy na przykładzie najprostszego ele-
mentu, jakim jest dwuwęzłowy element kratownicy płaskiej. Na rysunku 7.1 pokazano taki element o wę-
złach oznaczonych przez 1 i 2. Pierwszym krokiem sformułowania elementu jest wyrażenie globalnych
współrzędnych elementu x od jego współrzędnych naturalnych ξ , gdzie -1 < ξ < +1 . Transformacja ta jest
dana w relacji:
x
=
1
(
1
−
ξ
)
x
+
1
(
1
+
ξ
)
x
+ …
(7.5)
2
1
2
2
lub
=
2
x
=
N
i x
i
(7.6)
i
1
gdzie N 1 = 0.5(1-ξ) i N 2 = 0.5(1+ξ) S ą funkcjami interpolującymi (tutaj liniowymi). Zauważmy, że relacja
(7.5) jest jednoznaczna i ustala zależność pomiędzy współrzędnymi x i ξ . Globalne przemieszczenia pręta
wyrażone są w ten sam sposób, co współrzędne globalne, a mianowicie
=
2
d
=
N
i d
i
(7.7)
i
1
Zastosowanie tych samych funkcji interpolujących (funkcji kształtu), zdefiniowanych we współrzęd-
nych naturalnych, do współrzędnych elementu i jego przemieszczeń stanowi podstawę sformułowania izo-
parametrycznych elementów skończonych. W celu określenia współczynników macierzy sztywności należy
znaleźć relację: odkształcenie-przemieszczenie, w naszym przypadku ε =du/dx . Mamy więc:
ε=
du ξ
ξ
d
,
(7.8)
d
dx
przy czym L jest długością elementu. Macierz odkształceń B ma zatem postać:
1
B −
=
L
[
1
1
],
(7.9)
W ogólności związek: odkształcenie-przemieszczenie jest funkcją współrzędnych naturalnych i w celu
wyznaczenia macierzy sztywności wymagane jest całkowanie w tych współrzędnych. Korzystając ze znanej
już zależności na macierz sztywności, otrzymujemy
EA
+
1
−
1
k
=
∫
,
⋅
[
−
1
1
]
⋅
J
⋅
d
ξ
(7.10)
L
2
1
−
1
gdzie J jest jakobianem wiążącym długość elementu we współrzędnych globalnych z długością elementu,
wyrażoną we współrzędnych naturalnych, tj.
dx ξ
=
J
⋅
d
,
(7.11)
gdzie J = L/2 , skąd otrzymujemy ostatecznie:
EA
1
1
−
1
k
=
−
,
(7.12)
L
−
1
1
1
Jak widać w powyższym sformułowaniu, nie było potrzeby wyznaczania macierzy h -1 .
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
,
269457783.003.png
7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
3
Proszę porównać powyższe sformułowanie ze sformułowaniem tego samego elementu, zamieszczo-
nym w rozdziale 5.
7.1. Współrzędne naturalne
Jak wspomnieliśmy wyżej, podstawą formułowania elementów izoparametrycznych jest wyrażenie
współrzędnych elementu i jego przemieszczeń we współrzędnych naturalnych. Ten układ może być układem
jedno-, dwu- lub trójwymiarowym w zależności od wymiarów elementu. Podkreślmy, że obliczanie macie-
rzy elementów jest takie samo dla wszystkich tych przypadków. Poniżej przedstawimy sformułowanie naj-
bardziej ogólne, tj. dla przypadku przestrzennego.
Współrzędne elementu przestrzennego wyrazić możemy ogólnie w postaci:
q
q
q
x
=
=
N
i
x
i
,
y
=
=
N
i
y
i
,
z
=
=
N
i
z
i
,
(7.13)
i
1
i
1
i
1
gdzie x, y, z są współrzędnymi dowolnego punktu elementu, a x i , y i ., z i . (i=1,..,q) są współrzędnymi jego wę-
złów. Funkcje kształtu są zdefiniowane we współrzędnych naturalnych ξ, η, ς , które zmieniają się od -1 do
+1. Nieznanymi w (7.13) pozostają funkcje kształtu N .. Funkcje te można wyznaczyć korzystając z funda-
mentalnej ich własności, a mianowicie z tego, że przyjmują wartość 1 w węźle „i”, a wartość „0” w pozosta-
łych węzłach.
Pozostawmy sformułowanie elementu przestrzennego i zilustrujmy powyższe ponownie na przykła-
dzie pręta kratownicy, tym razem o 3 węzłach (rys.7.2).
1
2
3
x=0
x=0.3L
x=L
=-1
=1
1
=-1
=0
=1
N ξ
2 1
=
−
2
N
=
1
(
1
−
ξ −
−
1
(
1
ξ
)
1
2
2
1
1
1
N
=
(
1
+
ξ −
−
(
1
ξ
)
3
2
2
1
Rys. 7.2. Trójwęzłowy element kratownicy płaskiej
Zauważmy na początku, że w tym przypadku funkcje kształtu muszą być funkcjami parabolicznymi.
Funkcję N 2 zdefiniować najłatwiej, bowiem parabola, która spełnia warunki: dla ξ = ±1 równa jest 0, a dla
ξ=0 równa 1, ma postać N 2 = (1-ξ 2 ). Pozostałe dwie funkcje kształtu wyznaczymy przez superpozycję funk-
cji liniowej i paraboli. Na przykład dla wyznaczenia N 1 funkcja liniową (1-ξ)/2 spełnia wymagane warunki:
dla ξ = -1 równa jest 1 i dla ξ=1 równa 0. By spełnić warunek, że dla ξ = 0, N 1 jest równe 0 , dodajmy do
liniowej części parabolę -(1-ξ 2 )/2 . W ten sposób otrzymujemy funkcję kształtu w postaci N 1 =0.5·(1-ξ)-
0.5·(1-ξ 2 ). Podobnie wyznaczymy funkcję N 3 .
Przedstawiony wyżej algorytm konstruowania funkcji kształtu można bezpośrednio uogólnić dla ele-
mentów dwu i trójwymiarowych. Zauważmy jeszcze, że postać zależności (7.13) wskazuje, że elementy izo-
parametryczne mogą mieć brzegi zakrzywione, wobec czego w wielu sytuacjach elementy izoparametryczne
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
)
2
)
2
269457783.004.png
7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
4
są bardzo użyteczne przy modelowaniu geometrycznych warunków brzegowych. Mają one jednak i pewną
trudność, polegającą na skomplikowaniu relacji ε-d . Wynika to z faktu, że przemieszczenia elementu są wy-
rażone we współrzędnych lokalnych:
=
q
=
q
=
q
u
=
N
i
u
i
,
v
=
N
i
v
i
,
w
=
N
i
w
i
,
(7.14)
i
1
i
1
i
1
podczas gdy do obliczenia współczynników macierzy odkształceń wymagane jest różniczkowanie względem
zmiennych globalnych. Ponieważ przemieszczenia elementu są zdefiniowane we współrzędnych naturalnych
(7.14), musimy znaleźć związek pomiędzy współrzędnymi x, y, z a współrzędnymi ξ, η, ς . który można
przedstawić formalnie jako:
x
=
f
1
(
ξ
,
,
),
y
=
f
2
(
ξ
,
,
),
z
=
f
3
(
ξ
,
,
),
(7.15)
lub jako zależności odwrotne:
ξ
f 1
(
x
,
y
,
z
),
η
f 2
(
x
,
y
,
z
),
ζ
=
f 3
(
x
,
y
,
z
),
(7.16)
Aby otrzymać relację pomiędzy obydwoma układami współrzędnych wymagana jest znajomość po-
chodnych typu δ/δx, δ/δy i δ/δz. Wykorzystując regułę różniczkowania funkcji złożonej, mamy:
δ
=
δ
δξ
+
δη
δη
δ
+
δ
δζ
(7.17)
δ
x
δξ
δ
x
δ
x
δζ
δ
x
i podobnie można otrzymać wyrażenia na δ/δy i δ/δz . W celu obliczenia δξ/δx , δη/δx i δς/δx musimy w spo-
sób jawny znać relację (7.16). Obliczenie pochodnych występujących w (7.16) jest stosunkowo uciążliwe. W
tym celu posłużymy się następującym algorytmem. Wykorzystując regułę różniczkowania funkcji złożonej,
otrzymamy:
δ
/
δξ
δ
x
/
δξ
δ
y
/
δξ
δ
z
/
δξ
δ
/
δ
x
δ
/
δη
=
δ
x
/
δη
δ
y
/
δη
δ
z
/
δη
δ
/
δ
y
(7.18)
δ
/
δζ
δ
x
/
δζ
δ
y
/
δζ
δ
z
/
δζ
δ
/
δ
z
lub inaczej:
δ
/
δξ
=
J
⋅
δ
/
δ
x
(7.19)
gdzie J jest operatorem jakobianu (macierzą Jakobiego) wiążącym pochodne współrzędnych naturalnych z
pochodnymi lokalnymi. Zauważmy, że macierz Jakobiego łatwo wyznaczyć z relacji (7.13):
δ
/
δ
x
=
J
−
1 ⋅
δ
/
δξ
(7.20)
która wymaga oczywiście, by macierz J istniała. Wykorzystując (7.14) i (7.20) obliczamy pochodne δu/δx,
δu/δy, δu/δz i dalej macierz odkształceń ε = B d . Następnie obliczamy macierz sztywności elementu
k=∫B T ·D·B·dV . Ponieważ elementy macierzy B są funkcjami współrzędnych naturalnych ξ, η, ς, to całkowa-
nie po objętości wymaga wprowadzenia zależności
dV
=
det(
J
)
⋅
d
ξ d
⋅
d
η
⋅
ζ
(7.21)
gdzie det(J) jest wyznacznikiem macierzy J. Jak widać, jawne całkowanie wyrażenia na macierz sztywności
nie jest efektywne i dlatego też w elementach izoparametrycznych najczęściej stosuje się całkowanie nume-
ryczne.
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
269457783.005.png
7. SFORMUŁOWANIE IZOPARAMETRYCZNE
5
Poniżej zilustrujemy przedstawiony wyżej algorytm dla elementów izoparametrycznych wykorzysty-
wanych w zagadnieniach płaskich.
7.2. Element czworokątny
Rysunek 7.3 przedstawia bezwymiarowe współrzędne naturalne ξ i η dla czworokąta. Punkt g przyjęty
jest w środku geometrycznym, wobec czego jego współrzędne globalne spełniają równania :
x
=
1
(
x
+
x
+
x
+
x
)
g
4
1
2
3
4
(7.22)
1
y
=
(
y
+
y
+
y
+
y
)
g
4
1
2
3
4
=1
1
3
=0
=1
=-1
4
=-1
=0
2
Rys. 7.3. Czworokątny element izoparametryczny
Zauważmy, że współrzędne ξ i η zostały wprowadzone w taki sposób, że na przykład ξ= -1
definiuje wszystkie punkty położone na krawędzi 1-2, zaś ξ = 1 - punkty na krawędzi 2-3. Stosując
interpolację liniową w obu kierunkach, współrzędne globalne położenia dowolnego punktu wyrazimy
w postaci:
∑
4
∑
4
x
=
N
i
x
i
,
y
=
N
i
y
i
(7.23)
i
=
1
i
=
1
gdzie
N
=
1
(
1
−
ξ
)(
1
−
η
),
N
=
1
(
1
+
ξ
)(
1
−
η
),
1
4
2
4
(7.24)
1
1
N
=
(
1
+
ξ
)(
1
+
η
),
N
=
(
1
−
ξ
)(
1
+
η
),
3
4
4
4
Powyższe funkcje (porównaj wzór (6.52)) wyrażają współrzędne globalne we współrzędnych
naturalnych. Ze względu na to, że równania (7.24) są biliniowe, nie można tym razem w sposób ła-
twy odwrócić zależności (7.18) ani wyrazić ξ i η jako funkcji współrzędnych globalnych x i y . Za-
stosujemy zatem sposób przedstawiony w punkcie 7.1.
Macierz Jakobiego dla analizowanego przypadku można przedstawić w postaci:
J
=
J
11
J
12
=
x
ξ
y
,
ξ
(7.25)
J
J
x
y
21
22
η
,
η
Wyrażenia w macierzy Jakobianu mają następującą postać:
Tomasz Łodygowski, Witold Kąkol – Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki
konstrukcji inżynierskich
Alma Mater
,
,
269457783.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin