WprowadzenieWytrzymkaIIIsem.pdf

(817 KB) Pobierz

preall.dvi

2005/6/16

page 525

Rozdzial 11

WYBRANE ZAGADNIENIA

STATECZNOSCI PR¸ T OW

PROSTYCH I UKLAD OW

PR¸ TOWYCH

Wprowadzenie

W literaturze spotykane s a rozne denicje statecznosci lub bliskoznacznego

poj ecia stabilnosci. W odniesieniu do ukladow mechanicznych mozemy mowic #

albo o statecznosci stanu rownowagi (w sensie spelnienia odpowiednich rownan

statyki) albo o statecznosci ruchu, np.: o statecznosci lotu obiektu lataj acego 1 .

W obu przypadkach statecznosci a nazywac b edziemy zdolnosc ukladu mecha #

nicznego do powracania do stanu pierwotnego po wytr aceniu go z tego stanu.

Bardzo prost a ilustracj a tego zagadnienia moze byc popularny model zyczny

kulki ustawionej na zakrzywionej powierzchni. Analizuj ac zachowanie takiego

modelu, w tablicy 11.1 zdeniowano statyczne i kinetyczne kryteria rownowagi #

trwalej 2

1 Analizuj ac problemy statecznosci, w ktorych uwzgl edniany jest czynnik czasu (np.: w za

gadnieniach ruchu ciala, przeplywu cieczy, itp.) uzywamy cz esto okreslenia stabilnosc za

miast statecznosc.

2 W literaturze stan rownowagi trwalej lub nietrwalej nazywany jest takze rownowag a

stal a oraz niestal a (chwiejn a) [7].

(statecznej), oboj etnej i nietrwalej (niestatecznej).

171899626.051.png

171899626.062.png

171899626.073.png

171899626.076.png

171899626.001.png

171899626.002.png

171899626.003.png

171899626.004.png

2005/6/16

page 526

526

ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOSCI ...

Tabela 11.1.

model zyczny

kryterium statyczne

kryterium kinetyczne

ft11x1a

pod wplywem nieskoncze

nie malego wychylenia

uklad powroci do postaci

pierwotnej

po nadaniu malej pr edkosci

pocz atkowej uklad b edzie

wykonywal ruch drgaj acy

okresowy

f t11x1a

rownowaga trwala

ft11x1b

pod wplywem nieskoncze

nie malego wychyle

nia uklad pozostanie

w polozeniu wychylonym

po nadaniu malej pr edkosci

pocz atkowej uklad b edzie

poruszal si e ruchem jedno

stajnym

rownowaga oboj etna

ft11x1c

pod wplywem nieskoncze

nie malego wychyle

nia uklad zajmie inne

polozenie (rozne od pier

wotnego)

po nadaniu malej pr edkosci

pocz atkowej uklad b edzie

poruszal si e ruchem przy

spieszonym

f t11x1c

rownowaga nietrwala

11.1 Zjawisko utraty statecznosci w ukladach

sprezystych

W zagadnieniach statecznosci konstrukcji spr ezystych rodzaj rownowagi

zalezy najcz esciej od parametrow obci azenia, np. od zadawanych sil lub prze

mieszczen. Modelem takiego stanu jest np. kulka ustawiona na zakrzywionej

belce jak na rysunku 11.1. Uwzgl edniaj ac pierwotny promien zakrzywienia

belki R mozna wyznaczyc tak a sil e P ∗ , powyzej ktorej rownowaga kulki jest

nietrwala (niestateczna); dla sily P < P ∗ rownowaga kulki b edzie trwala (sta

teczna), natomiast przypadek P = P ∗ oznacza rownowag e oboj etn a.

R

ff1x1

rownowaga

trwala

rownowaga

P

P

nietrwala

f f1x1

P

P *

0

a)

b)

Rysunek 11.1

f t11x1b

171899626.005.png

171899626.006.png

171899626.007.png

171899626.008.png

171899626.009.png

171899626.010.png

171899626.011.png

171899626.012.png

171899626.013.png

171899626.014.png

171899626.015.png

171899626.016.png

171899626.017.png

171899626.018.png

171899626.019.png

171899626.020.png

171899626.021.png

171899626.022.png

171899626.023.png

171899626.024.png

2005/6/16

page 527

11.1 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOSCI ...

527

W dalszej cz esci tego rozdzialu, badaj ac rozne stany rownowagi, b edziemy

zawsze stosowac kryterium statyczne. Zauwazmy jednak, ze w denicji tego

kryterium mowimy o ”nieskonczenie malym” albo ”dowolnie malym” wychy

leniu od stanu pierwotnego (zob. tablica 11.1). W ten sposob okreslany

jest pewien stan idealny, ktorego praktycznie nigdy nie obserwujemy w ba

daniach doswiadczalnych. W rzeczywistej konstrukcji, zagrozonej utrat a sta

tecznosci, impuls wytr acaj acy j a ze stanu pierwotnego moze byc maly ale

skonczonej wielkosci; przy niewielkiej wartosci impulsu zaburzenia uklad po

zostaje w rownowadze trwalej. Mowimy wtedy, ze taka konstrukcja jest sta

teczna ”w malym”. Przykladowo, wysoki klocek ustawiony na sztywnym

podlozu — rysunek 11.2a — zostanie wytr acony z polozenia rownowagi do

piero wtedy gdy sila boczna P b edzie wi eksza od pewnej skonczonej wartosci

P = P 2 > P 1 .

P 1

P 2

f11x3

Q

Q

Q

a)

Rysunek 11.2

Uwzgl edniaj ac efekty nieliniowosci geometrycznej oraz odst epstwo od za

sady zesztywnienia przedstawimy ponizej proste modele zyczne opisuj ace

dwie podstawowe formy utraty statecznosci, tj. bifurkacj e i przeskok. W dal

szej kolejnosci zostanie omowione zjawisko wyboczenia pr etow prostych

i ukladow pr etowych.

11.1.1 Utrata statecznosci ”przez bifurkacj e”

#

Rozwazmy prosty model ukladu spr ezystego, zlozony z nieodksztalcalnego

pr eta zamocowanego w przegubie A, i utrzymywanego w pozycji pionowej

przez spr ezyn e jak na rysunku 11.3a. Swobodny koniec pr eta (punkt B) jest

obci azony sil a skupion a P skierowan a wzdlu z osi pr eta. Liniow a charaktery

styk e spr ezyny opisywac b edziemy nast epuj acym rownaniem

M spr = c'

(11.1)

gdzie M spr jest momentem jaki nalezy przylozyc do pr eta, aby go obrocic

o k at ', c jest wspolczynnikiem charakteryzuj acym sztywnosc spr ezyny.

b)

171899626.025.png

171899626.026.png

171899626.027.png

171899626.028.png

171899626.029.png

171899626.030.png

171899626.031.png

171899626.032.png

2005/6/16

page 528

528

ROZDZIAL 11. WYBRANE ZAGADNIENIA STATECZNOSCI ...

P

P

B

j

B

f f1x2

ff1x2

l

x

l

spr.

A

A

y

a)

b)

Rysunek 11.3

Przykladowo, jesli spr ezyn e wykonamy z dr azka skr etnego o dlugosci a

i srednicy d, jak na rysunku 11.4, stal a c mozna wyznaczyc ze wzoru 6.22

' =

M s a

GJ o

sk ad

c =

GJ o

a

=

G

a

d 4

32

.

gdzie G jest modulem Kirchhoa dr azka AC.

W polozeniu idealnie pionowym (' = 0) sila P nie daje momentu wzgl edem

przegubu A — rysunek 11.3a — oraz spr ezyna nie jest napr ezona; reak

cja pionowa w przegubie A jest rowna R A = P . Tym samym wszystkie

rownania statyki s a spelnione, a wi ec mozemy powiedziec, ze caly uklad jest

P

f f1x7a

B

l

GJ o

ff1x7a

A

a

Rysunek 11.4

w rownowadze. Dla dowolnej sily P mozemy wi ec napisac

' = '(P ) = 0.

(11.2)

Jak dalej zobaczymy rodzaj rownowagi (przy ' = 0) zalezny jest m.in. od

wspolczynnika c (zob. rownanie (11.1)) oraz od wartosci sily P : dla malej sily

jest to rownowaga trwala, dla du zej sily rownowaga nietrwala — rysunek 11.5.

W szczegolnosci, gdy usuni eta zostanie spr ezyna (c→0), wtedy dla dowolnej

C

171899626.033.png

171899626.034.png

171899626.035.png

171899626.036.png

171899626.037.png

171899626.038.png

171899626.039.png

171899626.040.png

171899626.041.png

171899626.042.png

171899626.043.png

171899626.044.png

171899626.045.png

171899626.046.png

171899626.047.png

171899626.048.png

171899626.049.png

171899626.050.png

171899626.052.png

171899626.053.png

171899626.054.png

171899626.055.png

171899626.056.png

171899626.057.png

171899626.058.png

171899626.059.png

171899626.060.png

171899626.061.png

2005/6/16

page 529

11.1 ZJAWISKO UTRATY STATECZNOSCI ...

529

P

rownowaga

nietrwala

f f1x5

P *

ff1x5

rownowaga

trwala

j

Rysunek 11.5

dodatniej 3 sily P rownowaga ukladu b edzie nietrwala.

Poszukuj ac innych stanow rownowagi zbadajmy jak rozwazany uklad za

chowuje si e w polozeniu wychylonym o pewien k at ' — rysunek 11.3b. Za

pisuj ac rownanie rownowagi momentow dzialaj acych na caly pr et (liczonych

P

ff1x4

P

j

~

sin

j

P

P Kr

f f1x4

a)

j

b)

j

0

Rysunek 11.6

np. wzgl edem przegubu A) b edziemy mieli

M (A) = 0 ⇒ Pl sin ' = M spr .

Wykorzystuj ac dalej (11.1) otrzymujemy

Pl sin ' = c'. (11.3)

Rownanie rownowagi (11.3) posiada dwa rozne rozwi azania: pierwsze zapi

szemy w formie (11.2) — zob. rysunek 11.5. Drugiego rozwi azania poszukamy

przy zalozeniu, ze ' = 0; dziel ac stronami (11.3) przez l sin ' dostaniemy

P = P (') =

c

l

'

sin ' .

(11.4)

3 Dodatnia sila P wywoluje sciskanie pr eta AB.

Kr

171899626.063.png

171899626.064.png

171899626.065.png

171899626.066.png

171899626.067.png

171899626.068.png

171899626.069.png

171899626.070.png

171899626.071.png

171899626.072.png

171899626.074.png

171899626.075.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

B. Cieślar - Metodyczny zbiór zadań z wytrzymałości materiałów.pdf (4532 KB)
Marian Ostwald - Wytrzymałość materiałów - zbiór zadań.pdf (32683 KB)
Mechanika pękania.pdf (20304 KB)
Wytrzymałość materiałów -zbiór zadań Marian Ostwald.pdf (32683 KB)
Wytrzymałość materiałów.rar (948 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin