Rozdz_11A.pdf
(
205 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 12
11. METODY DOĺWIADCZALNE
11.1. Kryteria podobieıstwa przepþyww
Szczeglne znaczenie w dziedzinie okrħtownictwa, lotnictwa, budownictwa
wodnego i wielu innych dziaþach techniki, w ktrych dla konstruktora waŇna jest
moŇliwie dokþadna znajomoĻę zjawisk przepþywowych, majĢ
b a d a n i a m o d e -
l o w e
. ZezwalajĢ one bowiem na przewidywanie zachowania siħ projektowanej
konstrukcji, jeszcze nie zrealizowanej - co zapewnia zwiħkszenie jej bezpieczeıstwa
i zmniejszenie ryzyka finansowego.
Zbadamy obecnie warunki konieczne, ktre musi speþniaę zjawisko modelowe,
aby wyniki doĻwiadczeı prowadzonych na modelu odnosiþy siħ z dostatecznĢ do-
kþadnoĻciĢ do zjawisk rzeczywistych w peþnej skali. SĢ to tzw.
k r y t e r i a p o -
d o b i e ı s t w a
,
ktre znajdujĢ zastosowanie nie tylko w doĻwiadczalnej mechanice
pþynw, ale takŇe w wielu innych gaþħziach fizyki doĻwiadczalnej, jak np. w technice
cieplnej.
Rys. 11.1
Pierwszym kryterium musi byę kryterium geometrycznego podobieıstwa modelu
i obiektu rzeczywistego - byþoby bowiem nierozsĢdne przypuszczenie, Ňe wyniki
badaı modelowych moŇna przenosię na obiekt rzeczywisty w przypadku zasadniczej
311
rŇnicy ksztaþtu. Kryterium to bħdzie speþnione, jeŇeli wszystkie stosunki wspþ-
rzħdnych odpowiadajĢcych sobie punktw (rys. 11.1) sĢ staþe
x
x
r
m
= = = , (11.1)
y
y
r
m
z
z
r
m
k
l
gdzie k
l
jest skalĢ geometrycznĢ. DzielĢc wspþrzħdne i parametry geometryczne
obiektu i modelu przez dowolnie wybrany parametr geometryczny otrzymamy bez-
wymiarowe wspþrzħdne i parametry geometryczne:
x
=
x
r
,
y
=
y
r
,
z
=
z
r
,
Ú
Í
Û
r
l
r
l
r
l
r
r
r
(11.2)
x
y
z
Í
Ü
x
=
m
,
y
=
m
,
z
=
m
.
m
l
m
l
m
z
Í
m
m
m
Wynika stĢd, Ňe wspþrzħdne bezwymiarowe odpowiadajĢcych sobie punktw
obiektu rzeczywistego i modelu sĢ sobie rwne:
x x y y z z
r m r m r m
=
=
=
,
,
, (11.3)
= .
Drugie kryterium, nazywane k r y t e r i u m p o d o b i e ı s t w a k i n e m a -
t y c z n e g o
, mwi o koniecznoĻci wystħpowania podobieıstwa geometrycznego
miħdzy obrazami przepþyww wokþ modelu i wokþ obiektu rzeczywistego. Ozna-
cza ono, Ňe w odpowiadajĢcych sobie punktach stosunki prħdkoĻci i przyspieszeı
muszĢ zachowywaę staþe wartoĻci:
V
V
r
m
=
k
V
,
w
w
r
m
=
k
w
, (11.4)
gdzie wspþczynniki k
V
i k
w
sĢ
, odpowiednio, skalĢ prħdkoĻci i skalĢ przyspiesze-
nia. Podobieıstwo kinematyczne przepþywu wynika bezpoĻrednio z podobieıstwa
geometrycznego oraz z podobieıstwa dynamicznego, zgodnie z ktrym wieloboki siþ
w przepþywie modelowym i w przepþywie rzeczywistym muszĢ byę podobne.
Kryterium podobieıstwa kinematycznego bħdzie speþnione jeĻli wszystkie pola
wielkoĻci fizykalnych (pola: prħdkoĻci, przyspieszenia, temperatury, għstoĻci itd.),
wystħpujĢce rwnoczeĻnie we wsplnym obszarze przestrzennym, bħdĢ podobne
j
j
r
m
= , (11.5)
k
j
gdzie stosunek k
j
jest skalĢ podobieıstwa wielkoĻci j. PrzechodzĢc do wielkoĻci
bezwymiarowych opisujĢcych pola fizykalne:
312
gdyŇ na mocy (11.1) mamy l l k
r m l
j
=
j
r
,
j
=
j
m
,
(11.6)
r
j
(
Q
)
m
j
(
Q
)
r
m
gdzie )
(
r
i
j
(
m
Q
)
sĢ wielkoĻciami odniesienia (rys. 11.1), stwierdzamy, Ňe
j
m
przybierajĢ rwne wartoĻci w odpowiadajĢcych
sobie geometrycznie punktach tych pl
j
r
i
j
j
r r r r m m m m
( ) ( )
x y z x y z
, ,
, , . (11.7)
RozciĢgajĢc pojħcie podobieıstwa rwnieŇ na pola fizykalne niestacjonarne i wpro-
wadzajĢc skalħ czasu k
t
t
t
r
m
=
k
t
(11.8)
t
m
w analogii do bezwymiarowych wspþczynnikw
przestrzennych (11.2), dochodzimy do
g þ w n e g o t w i e r d z e n i a o p o d o -
b i e ı s t w i e z j a w i s k
:
dwa porwnywane zjawiska sĢ podobne jeĻli dajĢ siħ
przedstawię w formie bezwymiarowej identycznym ukþadem rwnaı z identycznymi
warunkami brzegowymi i poczĢtkowymi.
t
r
i
*
Przedstawimy przykþad zastosowania podanego twierdzenia do zagadnieı lami-
narnego ruchu cieczy lepkiej, opisywanego ukþadem rwnaı (8.38). Ukþad ten wraz
z warunkami poczĢtkowymi i brzegowymi sprowadzamy do postaci bezwymiarowej,
wyraŇajĢc wielkoĻci wymiarowe przez wielkoĻci odniesienia i parametry bezwymia-
rowe:
t
=
T
t
,
x
=
l
x
y
=
l
y
z
=
l
z
Û
V
C
=
U
V
C
,
F
C
=
g
F
C
,
p
=
p
0
p
,
Ü
(11.9)
gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim. Po podstawieniu i odpowiednim uporzĢd-
kowaniu otrzymamy:
C
Ú
di
v
V
=
0
,
Í
Û
C
( )
C
C
C
C
C
(11.10)
l
V
g
l
p
v
¯
0
D
+
V
µ
V
=
F
-
gra
d
p
+
V
.
Í
U
T
t
U
l
U
2
r
U
2
Ü
313
j
Q
bezwymiarowe funkcje
=
oraz bezwymiarowe czasy
,
,
,
Ú
Jak stĢd widaę dwa przepþywy cieczy lepkiej bħdĢ podobne wwczas, gdy bezwy-
miarowe staþe parametry -
p a r a m e t r y p o d o b i e ı s t w a
,
utworzone z charak-
terystycznych dla przepþywu staþych wielkoĻci:
p
0
l
,
U
,
r
,
n
,
:
Str
=
l
-
liczba
Strouhala
,
Ú
U
T
Í
U
2
Í
Fr
=
-
liczba
Froude'
a
,
g
l
Û
(11.11)
p
Í
Eu
=
0
-
liczba
Eulera
,
2
r
U
Í
Re
=
U
l
-
liczba
Reynoldsa
,
Í
n
Ü
bħdĢ jednakowe dla obu przepþyww. Peþne podobieıstwo obu przepþyww wymaga
wiħc rwnoĻci wszystkich czterech liczb podobieıstwa. Niestety, caþkowite podo-
bieıstwo przepþyww jest rzadko osiĢgalnym zjawiskiem, gdyŇ zwykle nie moŇna
zrealizowaę wszystkich warunkw przepþywu modelowego przy ograniczonej liczbie
parametrw swobodnie dobieranych przez badacza. ņĢdajĢc wiħc rwnoĻci tylko
niektrych liczb podobieıstwa otrzymamy rŇne kryteria czħĻciowego podobieıstwa
przepþyww.
Liczby podobieıstwa (11.11) przedstawiajĢ stosunki siþ wystħpujĢcych w prze-
pþywie, o czym þatwo moŇna siħ przekonaę zestawiajĢc wszystkie siþy (odniesione do
jednostki masy) i wyraŇajĢc je za pomocĢ charakterystycznych wielkoĻci przepþywu:
B
l
~ - siþa bezwþadnoĻci lokalna,
B
2
k
~ - siþa bezwþadnoĻci konwekcyjna,
U
l
G g
~ - siþa ciħŇkoĻci, (11.12)
C
0
~ - siþa ciĻnieniowa,
r
l
v
L ~ - siþa lepkoĻci.
U
l
2
Z tych siþ moŇna utworzyę cztery niezaleŇne stosunki, ktrymi sĢ liczby podobieı-
stwa (11.11):
Str -
=
B
l
liczba
Strouhala
,
(11.13)
B
k
314
U
T
p
Fr
=
B
k
-
liczba
Froude'
a
,
Ú
G
Í
Í
Eu
=
C
-
liczba
Eulera
,
Û
(11.13cd.)
B
k
Í
Í
B
Í
Re
=
k
-
liczba
Reynoldsa
,
L
Ü
Liczba Strouhala okreĻla wiħc podobieıstwo zjawisk niestacjonarnych, liczba
Reynoldsa mwi o podobieıstwie ze wzglħdu na lepkoĻę, liczba FroudeÓa odnosi siħ
do zjawisk ruchu cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym, natomiast liczba Eulera
obowiĢzuje w zagadnieniach, w ktrych wystħpuje wpþyw ĻciĻliwoĻci i wyraŇa siħ
dla przepþywu gazu - na mocy zwiĢzku (7.20) - rwnieŇ poprzez liczbħ Macha
Eu
=
1
.
(11.14)
k
Ma
2
Z duŇej liczby innych parametrw podobieıstwa wymienimy jeszcze liczbħ
Webera
r
U
2
l
We
=
,
(11.15)
s
= - istotnĢ dla przepþywu cieczy w cienkiej warstwie lub strudze z po-
wierzchniĢ swobodnĢ. Warto teŇ wspomnieę, Ňe wykþadnik adiabaty k i liczba
Prandtla (9.59) naleŇĢ do grupy parametrw okreĻlajĢcych podobieıstwo ze wzglħdu
na wþaĻciwoĻci termodynamiczne i ruch ciepþa w gazie.
s
r
l
11.2. Analiza wymiarowa
W sytuacji gdy nie dysponujemy ukþadem rwnaı i zwiĢzkw okreĻlajĢcych
badane zagadnienie, pomocnĢ okazuje siħ byę
a n a l i z a w y m i a r o w a
.
Zezwala
ona na uzyskanie bezwymiarowych parametrw podobieıstwa, jeĻli wiemy, od ja-
kich wielkoĻci zaleŇy rozwiĢzanie tego zagadnienia i opiera siħ na oczywistym
stwierdzeniu, Ňe kaŇde rwnanie opisujĢce jakiĻ proces fizyczny musi byę jednorod-
ne wymiarowo.
Wszystkie wielkoĻci fizyczne posiadajĢ wymiary, a do ich wyraŇenia wystarcza
pewna liczba wielkoĻci podstawowych. WielkoĻciami podstawowymi w kinematyce
sĢ: dþugoĻę
L
i
czas
T
, w dynamice trzeba wprowadzię dalszy wymiar - masħ
M
,
a w termodynamice temperaturħ q. Wymiary wszystkich innych, uŇywanych w me-
chanice pþynw wielkoĻci sĢ utworzone z wymiarw podstawowych, np.:
315
Í
bħdĢcĢ stosunkiem siþy B
k
do jednostkowej siþy napiħcia powierzchniowego (1.9)
2
N
Plik z chomika:
darius037
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_12B.pdf
(133 KB)
Rozdz_12A.pdf
(128 KB)
Rozdz_11C.pdf
(121 KB)
Rozdz_11B.pdf
(301 KB)
Rozdz_11A.pdf
(205 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin