równania kwadratowe matematyka.pdf

(287 KB) Pobierz
101821668 UNPDF
materiałpochodzizestrony matematyka.pisz.pl
Kwadrat»adnejliczby rzeczywistej niejestujemny,dlategotorównanieniemarozwi¡zania.
Równaniekwadratowe
ax 2 + bx + c =0 a 6 =0
2 x 2 − 16=0
2 x 2 =16 :2
x 2 =8
Najpierwlicz¦ (delta).
= b 2 − 4 ac
x =
p
8
lub x = − p
8
p
x = − p
Pierwiastki równaniakwadratowegolicz¦wzale»no±ciodznakudelty.
x =
4 · 2
4 · 2
p
p
x =2
2
x = − 2
2
> 0 dwapierwiastki x 1 = − b − p
p
2 a x 2 = − b +
2 a
=0 jedenpierwiastek x 1 = − b
2 a
x 2 =0
x =0
( podwójny )
< 0 niemapierwiastków
Pierwiastkirównania ax 2 + bx + c =0 s¡ miejscamizerowymi funkcjikwadratowej
y = ax 2 + bx + c .
Rozwi¡»pro±ciejni»zewzorów.
x 2 − 3 x =0 − 2 x 2 +8 x =0 3 x 2 − 5 x =0 2 x 2 + x =0
Rozwi¡zanie :
Rozwi¡»pro±ciejni»zewzorów.
x 2 − 3 x =0
x ( x − 3)=0
x =0 lub x =3
x 2 − 4=0 x 2 +9=0 2 x 2 − 16=0 x 2 =0
Rozwi¡zanie :
x 2 − 4=0
x 2 =4
− 2 x 2 +8 x =0
− 2 x ( x − 4)=0
x =2 lub x = − 2
x =0 lub x =4
x 2 +9=0
x 2 = − 9
3 x 2 − 5 x =0
3 x ( x − 5 3 )=0
101821668.018.png 101821668.019.png 101821668.020.png
x =0 lub x = 5 3
2 x 2 + x =0
2 x ( x + 1 2 )=0
x =0 lub x = − 1 2
Rozwi¡»równanie:
2 x 2 +3 x − 1=0
Rozwi¡zanie :
2 x 2 + 3 x − 1 =0
Korzystamzewzorówna pierwiastkirównaniakwadratowego .
a = 2 b = 3 c = − 1
= 3 2 − 4 · 2 · ( − 1 )=9+8=17
p
Rozwi¡»równanie:
x 2 − 4 x − 5=0
=
p
17
Rozwi¡zanie :
x 1 = − 3 − p
2 · 2 = − 3 − p
p
p
x 2 − 4 x − 5 =0
17
17
x 2 = − 3 +
2 · 2 = − 3+
17
17
4
4
Korzystamzewzorówna pierwiastkirównaniakwadratowego .
a = 1 b = − 4 c = − 5
=( − 4 ) 2 − 4 · 1 · ( − 5 )=16+20=36
p
=
p
36=6
x 1 = − ( − 4 ) − 6
2 · 1 = 4 − 6
2 = − 2
2 = − 1 x 2 = − ( − 4 )+6
2 · 1 = 4+6
2 = 10
2 =5
Rozwi¡»równanie:
2 x − x ( x +3)=( x − 1) 2 − 2
Rozwi¡zanie :
Rozwi¡»równanie:
x 2 +6 x +9=0
2 x − x ( x +3)=( x − 1) 2 − 2
2 x − x 2 − 3 x = x 2 − 2 x +1 − 2
− x 2 − x = x 2 − 2 x − 1
− x 2 − x − x 2 +2 x +1=0
− 2 x 2 + x +1=0
Rozwi¡zanie :
x 2 + 6 x + 9 =0
Korzystamzewzorówna pierwiastkirównaniakwadratowego .
a = 1 b = 6 c = 9
= 6 2 − 4 · 1 · 9 =36 − 36=0
= 1 2 − 4 · ( − 2) · 1=1+8=9
p
p
9=3
x 1 = − 6
2 · 1 = − 6
2 = − 3
x 1 = − 1 − 3
2 · ( − 2) = − 4
− 4 =1 x 2 = − 1+3
2 · ( − 2) = 2
− 4 = − 1
2
=
101821668.021.png 101821668.001.png 101821668.002.png 101821668.003.png 101821668.004.png 101821668.005.png 101821668.006.png
=( − 5) 2 − 4 · ( − 2) · ( − 2)=25 − 16=9
p
=
p
9=3
Rozwi¡»równanie:
x 1 = − ( − 5) − 3
2 · ( − 2)
x 2 = − ( − 5)+3
2 · ( − 2)
( x − 3)( x +2)=2 x ( x − 2) − 2 x
Rozwi¡zanie :
− 4 = 2
x 2 = 5+3
− 4 = 8
− 4
− 4
( x − 3)( x +2)=2 x ( x − 2) − 2 x
x 2 +2 x − 3 x − 6=2 x 2 − 4 x − 2 x
x 2 − x − 6=2 x 2 − 6 x
x 2 − x − 6 − 2 x 2 +6 x =0
− x 2 +5 x − 6=0
x 1 = − 1
2
x 2 = − 2
=5 2 − 4 · ( − 1) · ( − 6)=25 − 24=1
p
Rozwi¡»równanie:
p
( x − 1) 3 − ( x +2) 3 = − ( x − 3) 2
=
1=1
Rozwi¡zanie :
x 1 = − 5 − 1
2 · ( − 1) = − 6
− 2 =3 x 2 = − 5+1
2 · ( − 1) = − 4
− 2 =2
( x − 1) 3 − ( x +2) 3 = − ( x − 3) 2
x 3 − 3 x 2 +3 x − 1 − ( x 3 +6 x 2 +12 x +8)= − ( x 2 − 6 x +9)
x 3 − 3 x 2 +3 x − 1 − x 3 − 6 x 2 − 12 x − 8= − x 2 +6 x − 9
− 9 x 2 − 9 x − 9= − x 2 +6 x − 9
− 9 x 2 − 9 x − 9+ x 2 − 6 x +9=0
− 8 x 2 − 15 x =0
− 8 x ( x + 15 8 )=0
x 1 =0 x 2 = − 15 8 = − 1 7 8
Rozwi¡»równanie:
5 − ( x − 3)( x +3)=( x +4) 2 − 3 x
Rozwi¡zanie :
5 − ( x − 3)( x +3)=( x +4) 2 − 3 x
5 − ( x 2 − 9)= x 2 +8 x +16 − 3 x
5 − x 2 +9= x 2 +5 x +16
− x 2 +14= x 2 +5 x +16
− x 2 +14 − x 2 − 5 x − 16=0
− 2 x 2 − 5 x − 2=0
Rozwi¡»równanie:
x 4 − 5 x 2 +4=0
Rozwi¡zanie :
x 4 − 5 x 2 +4=0
( x 2 ) 2 − 5 x 2 +4=0
x 1 = 5 − 3
101821668.007.png 101821668.008.png
Wprowadzamzmienn¡pomocnicz¡ t = x 2
t 2 − 5 t +4=0
niemarozwi¡zania lub x = − 3 lub x =3
Odp.Rozwi¡zaniemrównanias¡liczby − 3 , 3 .
Korzystamzewzorówna pierwiastkirównaniakwadratowego .
=( − 5) 2 − 4 · 1 · 4=25 − 16=9
p
=
p
9=3
t 1 = − ( − 5) − 3
2 · 1 = 5 − 3
2 = 1 t 2 = − ( − 5)+3
2 · 1 = 5+3
2 = 4
Rozwi¡»równanie:
x 4 − 3 x 2 =0
Mam t = x 2 ,wi¦c
Rozwi¡zanie :
x 2 = 1 lub x 2 = 4
x 4 − 3 x 2 =0
x = − 1 lub x =1 lub x = − 2 lub x =2
x 2 ( x 2 − 3)=0
p
p
x 2 ( x −
3)( x +
3)=0
Odp.Rozwi¡zaniemrównanias¡liczby − 1 , 1 , − 2 , 2 .
x 1 =0 x 2 =
p
3 x 3 = − p
3
p 3 , − p 3 .
Odp.Rozwi¡zaniemrównanias¡liczby 0 ,
Rozwi¡»równanie:
x 4 − 7 x 2 − 18=0
Rozwi¡zanie :
x 4 − 7 x 2 − 18=0
( x 2 ) 2 − 7 x 2 − 18=0
Zadania+Rozwi¡zania
Rozwi¡»układyrówna«:
( y = x 2 − 5 x +3
y = − 2 x +1
( x 2 + y 2 =5
x + y =1
( xy = − 10
x − y =3
Wprowadzamzmienn¡pomocnicz¡ t = x 2
t 2 − 7 t − 18=0
Korzystamzewzorówna pierwiastkirównaniakwadratowego .
=( − 7) 2 − 4 · 1 · 18=49+72=121
p
p
Rozwi¡»układrówna«.
Rozwi¡zanie :
( y = x 2 − 5 x +3
y = − 2 x +1
=
121=11
t 1 = − ( − 7) − 11
2 · 1 = 7 − 11
2 = − 2 t 2 = − ( − 7)+11
2 · 1 = 7+11
2 = 9
− 2 x +1= x 2 − 5 x +3
0= x 2 − 5 x +3+2 x − 1
0= x 2 − 3 x +2
Mam t = x 2 ,wi¦c
x 2 = − 2 lub x 2 = 9
101821668.009.png 101821668.010.png 101821668.011.png 101821668.012.png 101821668.013.png 101821668.014.png 101821668.015.png
x 2 − 3 x +2=0
( x 1 = − 1
y 1 =2
( x 2 =2
y 2 = − 1
=( − 3) 2 − 4 · 1 · 2=9 − 8=1
p
Odp.
p
=
1=1
Rozwi¡»układrówna«.
Rozwi¡zanie :
8
> <
x 1 = − ( − 3) − 1
2 · 1 = 2
2 =1
8
> <
x 2 = − ( − 3)+1
2 · 1 = 4
2 =2
( xy = − 10
x − y =3
( xy = − 10
− y =3 − x · ( − 1)
( xy = − 10
> :
> :
y 1 = − 2 · 1+1= − 2+1= − 1
y 2 = − 2 · 2+1= − 4+1= − 3
Odp.
( x 1 =1
y 1 = − 1
( x 2 =2
y 2 = − 3
Rozwi¡»układrówna«.
Rozwi¡zanie :
y = − 3+ x
( x ( − 3+ x )= − 10
( x 2 + y 2 =5
y = − 3+ x
x + y =1
( x 2 + y 2 =5
y =1 − x
x ( − 3+ x )= − 10
− 3 x + x 2 = − 10
x 2 − 3 x +10=0
x 2 +(1 − x ) 2 =5
x 2 +1 − 2 x + x 2 =5
2 x 2 − 2 x +1 − 5=0
2 x 2 − 2 x − 4=0 / :2
x 2 − x − 2=0
=( − 3) 2 − 4 · 1 · 10=9 − 40= − 31
< 0 –równaniekwadratoweniemarozwi¡zania
Odp.Układrówna«niemarozwi¡zania.
=( − 1) 2 − 4 · 1 · ( − 2)=1+8=9
p
wzoryViete’a
Je»elifunkcjakwadratowamapierwiastki,toprawdziwes¡dlanichnast¦puj¡ce wzoryViete’a :
x 1 = − ( − 1) − 3
2 · 1 = − 2
2 = − 1
8 > <
x 2 = − ( − 1)+3
2 · 1 = 4
2 =2
x 1 + x 2 = − b
a
> :
> :
x 1 · x 2 = c
a
y 1 =1 − ( − 1)=1+1=2
y 2 =1 − 2= − 1
= p 9=3
8 > <
101821668.016.png 101821668.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin