pelna-wersja-algorytmy-numeryczne-w-delphi-ksiega-eksperta_anudel.pdf

IDZ DO

PRZYK£ADOW Y ROZDZIA£

Algorytmy numeryczne

SPIS TREŒCI

w Delphi. Ksiêga eksperta

KATALOG KSI¥¯EK

Autorzy: Bernard Baron,

Artur Pasierbek, Marcin Maci¹¿ek

ISBN: 83-7361-951-8

Format: B5, stron: 544

KATALOG ONLINE

ZAMÓW DRUKOWANY KATALOG

TWÓJ KOSZYK

DODAJ DO KOSZYKA

Metody numeryczne s¹ to sposoby rozwi¹zywania z³o¿onych problemów

matematycznych za pomoc¹ narzêdzi obliczeniowych udostêpnianych przez popularne

jêzyki programowania. Jeden z najpopularniejszych jêzyków — Pascal, bêd¹cy

podstaw¹ jêzyka ObjectPascal wykorzystywanego w Delphi, pozwala na bardzo

³atw¹ implementacjê mechanizmów obliczeñ numerycznych. Specyfika projektowania

aplikacji w œrodowisku Delphi pozwala na utworzenie komponentów realizuj¹cych

algorytmy numeryczne i stosowanie ich w wielu aplikacjach.

Ksi¹¿ka „Algorytmy numeryczne w Delphi. Ksiêga eksperta” przedstawia najczêœciej

wykorzystywane metody numeryczne wraz z przyk³adami ich implementacji w jêzyku

ObjectPascal. Ka¿de zagadnienie jest omówione zarówno od strony teoretycznej, jak

i praktycznej, co u³atwia jego zrozumienie i pozwala na modyfikacje zamieszczonych

w ksi¹¿ce kodów Ÿród³owych.

Typy, funkcje, klasy i procedury wykorzystywane w algorytmach numerycznych

Algebra macierzy i równania liniowe

Badanie funkcji

Rozwi¹zywanie równañ nieliniowych i wyznaczanie wartoœci w³asnych macierzy

Uk³ady równañ ró¿niczkowych liniowych i nieliniowych

Przekszta³cenia Fouriera i Laplace’a

Niemal ka¿dy problem obliczeniowy mo¿na rozwi¹zaæ za pomoc¹ metod numerycznych.

Nie musisz wiêc wymyœlaæ ponownie ko³a — wystarczy, ¿e poznasz opisane w tej

ksi¹¿ce algorytmy.

CENNIK I INFORMACJE

ZAMÓW INFORMACJE

ONOWOŒCIACH

ZAMÓW CENNIK

CZYTELNIA

FRAGMENTY KSI¥¯EK ONLINE

Wydawnictwo Helion

ul. Chopina 6

44-100 Gliwice

tel. (32)230-98-63

e-mail: helion@helion.pl

Spis treści

Zmiany w stosunku do poprzedniego wydania ......................................... 9

Przedmowa ................................................................................................... 11

Rozdział 1. Definicje typów, procedur,

funkcji i klas dla zagadnień numerycznych .......................... 13

1.1. Organizacja biblioteki obliczeń numerycznych ......................................................................... 14

1.2. Typ wariantowy ......................................................................................................................... 14

1.3. Predefiniowany typ liczb zespolonych ......................................................................................16

1.4. Definicja typu liczb zespolonych ............................................................................................... 17

1.5. Funkcje konwersji liczb rzeczywistych zespolonych na łańcuch i odwrotnie ............................ 18

1.6. Wektor ....................................................................................................................................... 20

1.7. Macierz ...................................................................................................................................... 21

1.8. Reprezentacja wektorów i macierzy za pomocą tablic ............................................................... 21

1.8.1. Przydzielanie i zwalnianie pamięci dla tablic jednowymiarowych .................................. 23

1.8.2. Przydzielanie i zwalnianie pamięci dla tablic dwuwymiarowych .................................... 24

1.9. Zapis i odczyt wektorów oraz macierzy w komponencie TStringGrid ...................................... 25

1.10. Wzorcowe funkcje zapisu i odczytu plików macierzy ............................................................... 26

Rozdział 2. Algebra macierzy i równania liniowe .................................... 27

2.1. Metoda bezpośredniego rozwiązywania układu równań macierzowych metodą eliminacji Gaussa ......28

2.1.1. Skalowanie układu równań liniowych ............................................................................. 32

2.2. Rozwiązywanie układu równań liniowych według algorytmu Crouta ....................................... 34

2.3. Obliczanie macierzy odwrotnej metodą eliminacji Gaussa ........................................................ 39

2.4. Obliczanie macierzy odwrotnej metodą Crouta ......................................................................... 43

2.5. Obliczanie wyznacznika macierzy kwadratowej ....................................................................... 48

2.6. Wskaźnik uwarunkowania macierzy ......................................................................................... 50

2.7. Obliczanie wartości własnej macierzy kwadratowej A o największym module ........................... 52

2.8. Obliczanie wartości własnej macierzy 1–αA o największym module ....................................... 53

2.9. Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą iteracji Jacobiego oraz Richardsona ........... 55

2.10. Rozwiązywanie układu równań metodą Gaussa-Seidela oraz metodą nadrelaksacji ................. 58

2.11. Pseudorozwiązanie układu nadokreślonego ............................................................................... 60

2.12. Metoda najmniejszych kwadratów ............................................................................................ 66

2.13. Algorytm Crouta rozwiązywania rzadkich układów równań liniowych ....................................... 68

2.14. Algorytmy iteracyjne Richardsona oraz Gaussa-Seidela dla macierzy rzadkich ....................... 78

Przykłady ............................................................................................................................................ 85

Komponenty .............................................................................................................................. 85

Właściwości .............................................................................................................................. 85

Algorytmy numeryczne w Delphi

Zdarzenia ................................................................................................................................... 86

Przykład 2.1. Obliczanie macierzy odwrotnej ........................................................................... 88

Przykład 2.2. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych ............................................... 95

Przykład 2.3. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych rzadkich ............................... 102

Rozdział 3. Praktyka badania funkcji ...................................................... 109

3.1. Całkowanie i różniczkowanie numeryczne .............................................................................. 109

3.1.1. Ekstrapolacja iterowana Richardsona i Aitkena ............................................................ 109

3.1.2. Całkowanie numeryczne ................................................................................................ 116

3.1.3. Różniczkowanie numeryczne ........................................................................................ 125

3.1.4. Gradient funkcji wielu zmiennych ................................................................................. 135

3.1.5. Jakobian funkcji wektorowej wielu zmiennych ............................................................. 136

3.1.6. Hesjan funkcji wielu zmiennych .................................................................................... 137

3.2. Wybrane metody aproksymacji i interpolacji liniowej funkcji jednej zmiennej ...................... 138

3.2.1. Aproksymacja metodą najmniejszych kwadratów ......................................................... 139

3.2.2. Aproksymacja funkcji dyskretnej wielomianem ............................................................ 141

3.2.3. Aproksymacja układami funkcji ortogonalnych ............................................................ 141

3.2.4. Aproksymacja wielomianami ortogonalnymi ................................................................ 142

3.2.5. Implementacja metod aproksymacji .............................................................................. 144

3.2.6. Interpolacja funkcji dyskretnej krzywą łamaną ............................................................. 159

3.2.7. Interpolacja wielomianem potęgowym Lagrange’a ....................................................... 160

3.2.8. Interpolacja funkcjami sklejanymi ................................................................................. 160

3.2.9. Interpolacja funkcjami i wielomianami ortogonalnymi ................................................. 162

3.2.10. Metody interpolacji w ramach klasy TInterpolation .................................................... 165

3.3. Wybrane metody poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych

metodami bezgradientowymi ................................................................................................... 180

3.3.1. Wyznaczenie minimum funkcji wielu zmiennych bezgradientową metodą

poszukiwań prostych Hooke’a-Jeevesa ................................................................................... 181

3.3.2. Bezgradientowa metoda „złotego podziału” poszukiwania minimum ........................... 184

3.3.3. Bezgradientowa metoda Powella poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych .... 192

3.4. Wybrane metody poszukiwania minimum funkcji wielu zmiennych

metodami gradientowymi ........................................................................................................ 196

3.4.1. Metoda ekspansji i kontrakcji geometrycznej z jednym testem badania

współczynnika kroku przy poszukiwaniu minimum w kierunku ................................... 197

3.4.2. Metoda aproksymacji parabolicznej z jednym testem

badania współczynnika kroku przy poszukiwaniu minimum w kierunku ..................... 201

3.4.3. Algorytm największego spadku ..................................................................................... 206

3.4.4. Zmodyfikowany algorytm Newtona .............................................................................. 210

Przykłady ........................................................................................................................................ 215

Komponenty ............................................................................................................................ 215

Przykład 3.1. Testowanie metod całkowania ........................................................................... 216

Przykład 3.2. Testowanie procedur różniczkowania numerycznego ....................................... 221

Przykład 3.3. Testowanie funkcji do wyznaczania macierzy Jacobiego funkcji wektorowej .... 225

Przykład 3.4. Testowanie funkcji do wyznaczania macierzy Hessego funkcji wielu zmiennych .. 229

Przykład 3.5. Testowanie metod klasy TApproximation ......................................................... 231

Przykład 3.6. Testowanie metod klasy TInterpolation ............................................................. 239

Przykład 3.7. Testowanie metod wyznaczania minimum funkcji ............................................ 244

Spis treści

Rozdział 4. Równania nieliniowe,

zera wielomianów, wartości własne macierzy .................... 251

4.1. Algorytmy rozwiązywania układów równań nieliniowych ...................................................... 252

4.1.1. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych metodą Newtona ................................. 253

4.1.2. Rozwiązywanie układów równań nieliniowych metodą gradientową ........................... 256

4.1.3. Rozwiązywanie układu równań nieliniowych zmodyfikowaną metodą Newtona ......... 260

4.1.4. Rozwiązywanie układów nieliniowych metodą iteracyjną ............................................ 264

4.1.5. Pseudorozwiązania nieliniowego układu nadokreślonego metodą Hooke’a-Jeevesa .... 267

4.2. Wyznaczanie zer wielomianów metodami Bairstowa i Laguerre’a ......................................... 270

4.2.1. Dzielenie wielomianów o współczynnikach rzeczywistych

przez czynnik liniowy według algorytmu Hornera ....................................................... 270

4.2.2. Dzielenie wielomianu przez czynnik kwadratowy ........................................................ 272

4.2.3. Wyznaczanie dzielników wielomianu stopnia N > 2

w postaci trójmianu kwadratowego metodą Bairstowa ................................................. 273

4.2.4. Wyznaczanie zer wielomianów o współczynnikach rzeczywistych .............................. 277

4.2.5. Wyznaczanie zer wielomianu metodą Laguerre’a ......................................................... 280

4.2.6. Wyznaczanie zer wielomianu metodą Laguerre’a ......................................................... 282

4.3. Wyznaczanie wartości własnych macierzy metodami Bairstowa i Laguerre’a ........................ 284

4.3.1. Wyznaczanie współczynników wielomianu charakterystycznego

macierzy kwadratowej metodą Kryłowa ....................................................................... 285

4.3.2. Wyznaczanie wartości własnych macierzy metodą Bairstowa ...................................... 287

4.3.3. Wyznaczanie wartości własnych macierzy metodą Laguerre’a ..................................... 290

4.4. Wyznaczanie zer funkcji jednej zmiennej metodą połowienia przedziału ............................... 291

Przykłady ........................................................................................................................................ 293

Komponenty ............................................................................................................................ 293

Przykład 4.1. Testowanie metod rozwiązywania układu równań nieliniowych ....................... 294

Przykład 4.2. Testowanie metod rozwiązywania układu równań nieliniowych — cd. ............ 295

Przykład 4.3. Wyznaczanie zer wielomianów o współczynnikach rzeczywistych zadanych

z klawiatury za pomocą metod Laguerre’a oraz Bairstowa ............................... 300

Przykład 4.4. Wyznaczanie wartości własnej macierzy zadanej z klawiatury lub pliku .......... 302

Przykład 4.5. Wyznaczanie zer i ekstremum funkcji Bessela rzędu N .................................... 305

Rozdział 5. Układy zwyczajnych równań

różniczkowych nieliniowych ................................................. 309

5.1. Układ równań różniczkowych jako klasa programowania obiektowego ................................. 310

5.1.1. Definicje typów do zadawania układu równań różniczkowych nieliniowych ............... 311

5.1.2. Definicja klasy prototypowej dla klas implementujących

rozwiązywanie układu równań różniczkowych ............................................................. 312

5.1.3. Definicja klasy prototypowej dla klas potomnych dotyczących

rozwiązywania układu równań różniczkowych nieliniowych ....................................... 318

5.1.4. Aproksymacja dyskretnych wartości wektorów stanu ................................................... 319

5.1.5. Funkcje pomocnicze do działania na wektorach stanu .................................................. 322

5.2. Metody Rungego-Kutty ........................................................................................................... 323

5.3. Rozwiązywanie układu równań różniczkowych zwyczajnych metodą Rungego-Kutty

z automatycznym doborem kroku całkowania ........................................................................ 327

5.4. Metody Fehlberga .................................................................................................................... 332

Algorytmy numeryczne w Delphi

5.5. Rozwiązanie układu równań różniczkowych nieliniowych zwyczajnych metodą

Fehlberga z automatycznym doborem kroku całkowania ........................................................ 340

5.6. Rozwiązanie układu równań różniczkowych nieliniowych zwyczajnych metodą

Dormanda-Prince’a z automatycznym doborem kroku całkowania ........................................ 344

5.7. Wielokrokowa metoda rozwiązywania układu równań różniczkowych nieliniowych

z członem przewidywania Adamsa-Bashfortha oraz członem korekcyjnym

Adamsa-Multona z automatycznym doborem kroku i rzędu ................................................... 349

5.7.1. Algorytm Adamsa-Bashfortha ....................................................................................... 349

5.7.2. Algorytm Adamsa-Multona ........................................................................................... 351

5.7.3. Algorytmy przewidywania i korekcji wyrażone przez macierz Nordsiecka .................. 354

5.7.4. Faza wstępna obliczeń ................................................................................................... 363

5.7.5. Metody klasy TAdamsMultonAbstract i TAdamsMulton,

realizujące algorytm Adamsa-Multona ......................................................................... 368

5.8. Rozwiązywanie układu równań nieliniowych metodą sztywno stabilnych algorytmów Geara ....374

5.9. Metoda Gragga z ekstrapolacją Bulirscha-Stoera .................................................................... 386

Przykłady ........................................................................................................................................ 394

Komponenty ............................................................................................................................ 394

Przykład 5.1. Rozwiązywanie układów równań różniczkowych drugiego rzędu .................... 395

Przykład 5.2. Zastosowanie klasy TRoRoNl do rozwiązywania

układów równań różniczkowych nieliniowych w ramach pewnej klasy ........... 402

Przykład 5.3. Wahadło matematyczne ..................................................................................... 408

Rozdział 6. Układy równań różniczkowych liniowych

o stałych współczynnikach ................................................... 413

6.1. Równania różnicowe dla różnych aproksymacji funkcji wymuszających .................................... 418

6.1.1. Wymuszenie aproksymowane funkcjami przedziałami stałymi .................................... 418

6.1.2. Wymuszenie aproksymowane funkcjami przedziałami liniowymi ................................ 420

6.1.3. Wymuszenie aproksymowane wielomianem stopnia drugiego ..................................... 422

6.1.4. Dobór kroku całkowania T ze względu na dobór górnej granicy błędu obliczania

macierzy e AT oraz ze względu na numeryczną stabilność rozwiązania ......................... 425

6.2. Definicja typów dla liniowych równań różniczkowych ........................................................... 427

6.3. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych

o stałych współczynnikach dla aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami stałymi ..... 429

6.4. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

dla aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami liniowymi ............................................ 431

6.5. Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach

dla aproksymacji wymuszeń funkcjami przedziałami kwadratowymi ..................................... 433

Przykłady ........................................................................................................................................ 435

Komponenty ............................................................................................................................ 435

Przykład 6.1. Testowanie metod rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych .. 435

Przykład 6.2. Testowanie metod rozwiązywania układu równań różniczkowych liniowych

zdefiniowanych wewnątrz pewnej klasy ........................................................... 440

Rozdział 7. Praktyka przekształceń Fouriera ........................................... 449

7.1. Dyskretna transformacja Fouriera według algorytmu Hornera ................................................ 455

7.2. Szybkie przekształcenie Fouriera według algorytmu Cooleya-Tukeya ................................... 457

7.3. Szybkie przekształcenie Fouriera według algorytmu Sande’a-Tukeya .................................... 466

7.4. Wyznaczanie współczynników zespolonego szeregu Fouriera dla dowolnej funkcji okresowej .. 470

7.5. Obliczanie odwrotnej transformacji Fouriera dla dowolnej transformaty ................................ 471

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: