ltm_zestaw3.pdf

LOGIKA I TEORIA MNOGOCI Z 3

1. Zbada¢, które spo±ród własno±ci 1 - 7 podanych na wykładzie ma relacja R :

(a) R N 2 , xRy , ( x | y _ y | x );

(b) R N 2 , xRy , ( x = 2 _ y = 2);

(d) R R 2 , xRy , x 2 6 = y 2 ;

(e) R R 2 , xRy , x 3 = y 2 ;

(f) R Z 2 , xRy ,| x | + | y | = 3;

(g) R R 2 , xRy , x − y 2 Q;

(h) R (N 3 ) 2 , ( x 1 ,y 1 ,z 1 ) R ( x 2 ,y 2 ,z 2 ) , ( x 1 = x 2 ^ y 1 = z 2 ^ y 2 = z 1 ).

2. Wykaza¢, »e poni»sze relacje R X 2 s¡ relacjami równowa»no±ci. Opisa¢ ich klasy abstrakcji.

(a) X = (N [{ 0 } ) 2 , ( r,s ) R ( t,u ) , r + u = s + t ;

(b) X = Z × (Z \{ 0 } ) , ( k,l ) R ( m,n ) , l · m = k · n ;

(d) X = R , xRy , x − y = [ x ] − [ y ].

3. Niech R 1 ,R 2 X 2 b¦d¡ relacjami równowa»no±ci. Czy relacje R 1 [ R 2 ,R 1 \ R 2 ,X 2 \ R 1 s¡

równie» relacjami równowa»no±ci?

4. Rozwa»my relacje R i S na zbiorze A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } zdeﬁniowane nast¦puj¡co:

xRy , 5 | ( x 2 − y 2 ) , xS y , x · y 6 = 8.

(a) Uzasadni¢, »e R jest, a S nie jest relacj¡ równowa»no±ci.

(b) Wyznaczy¢ A/ R .

5. Zbada¢, czy relacja % jest relacj¡ równowa»no±ci w zbiorze X . Je»eli tak, to wyznaczy¢ klasy

abstrakcji tej relacji.

(a) X = Z , m%n , 2 | m + n ;

(b) X = Z , m%n , m 2 ¬ n 2 ;

(d) X = 2 Y (zbiór Y ma co najmniej 2 elementy), A%B , A B _ B A ;

(e) X = C , x%y , Re x = Re y ;

(f) X = C , x%y ,9 c 2 R( c 6 = 0 ^ x · c = y );

(g) X = C , x%y , x + y 2 R;

(h) X = R[ x ] \{ 0 } , w 1 %w 2 , w 1 · w 2 jest wielomianem parzystego stopnia;

(i) X = R[ x ] , w 1 %w 2 , ( x 2 + 1) | w 1 − w 2 ;

(j) X = R 2 [ x ] , f%g , f − g 2 R 1 [ x ].