kol_2.pdf

1.1-szagrupa,Wst¦pdomatematyki,kolokwiumII

Nale»ywybra¢5zada«dooceny.Dozdobyciajest25punktów.Nieka»de

pi¦¢zada«(nawetidealniezrobionych)mo»eda¢25punktów.Wraziegdyby

zadanianieszłyzupełnie,prosz¦pisa¢deﬁnicjepoj¦¢wyst¦puj¡cychwzada-

niu,b¦d¦przyznawałzatopunkty“ratunkowe”.Tasamadeﬁnicjawkilku

zadaniachb¦dzieliczonatylkoraz.Np.wpierwszymzadaniumo»nanapi-

sa¢cotoznaczy,»emoces¡równe,milewiedzianejestrównie»twierdzenie

Cantora-Bernsteinaitd.

Powodzenia!

Zad1.1. (4pkt)Poda¢,jakmaj¡si¦dosiebiemocedwóchzbiorówpo-

danychwka»dympodpunkcie.Je±limamy ¬ i 6 =,topiszemy < Nietrzeba

uzasadnia¢.

i)N ...... { a 2 N:5 a< 15 }

ii)Z ...... Q

iii)R ...... { 0 , 1 } N

Zad1.2. (4pkt)Którezpodanychzbioróws¡funkcjami?Zczegowco?

i)N ×{ 1 }

ii) { 2 }×{|}

iii) { 1 , 2 , 3 , 4 }×{ 1 }

iv) { < 1 , 2 >,< 2 , 3 >,< 3 , 4 >,< 2 , 5 > }

v) { < 0 , 2 >,< 2 , 0 >,< 1 , 2 >,< 3 , 2 > }

Zad1.3. (5pkt)Zdeﬁniujniesko«czonezbiory A n zawartewN,dla n 2

Ntak,a»eby A i \ A j = ; ,dlaró»nych i,j 2 N.Innymisłowywzbiorze

liczbnaturalnychznajd¹niesko«czeniewielezbiorówniesko«czonych,parami

rozł¡cznych.Zauwa»,»eje±limamydwieró»neliczbypierwsze,tozbioryich

wielokrotno±cis¡rozł¡czne.Mo»naprzyj¡¢,»e p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 ,... -kolejneliczby

1-sze,których-jakzapewnewiecie-jestniesko«czeniewiele.

Zad1.4. (5pkt)Wyka»,»e:

i) | [0 , 1] | = | (0 , 12) |

ii) | ( − 1 , 1) | = | ( − 10 , − 5) [{ 2007 }[ (5 , 10) |

Zad1.5. (5pkt)Wyka»,»eje±li A B ,to | A |¬| B | .

Zad1.6. (6pkt)Niechfunkcja f :(0 , 1) ! Nb¦dzietaka,»e: f ( x )tonumer

pierwszegomiejscapoprzecinkuwrozwini¦ciudwójkowym x ,naktórym

jest1(licz¡cmiejscetu»poprzecinkujakozerowe,tzn.NIEpierwsze),nie

bierzemypoduwag¦rozwini¦¢,gdzieodpewnegomiejscas¡samejedynki.

Np.: f (0 , 01010 ... )=1, f (0 , 00010 ... )=3, f (0 , 1110 ... )=0.Przypomnienie:

0 ,abcd... = a 2 + b 4 + c 8 + d 16 + ... .

i)Znajd¹zbiórwarto±cifunkcji f .

ii)Czytafunkcjajest“na”N?Czyjest“1-1”?Dlaczego?

Zad1.7. (6pkt)Funkcja f –jakwpoprzednimzadaniu.Znajd¹zbiory:

i) f [(0 , 1 4 )].

ii) f − 1 [ { 1 } ].

Zad1.8. (6pkt)Dlaczegowszystkichci¡gówliczbnaturalnychniedasi¦

ustawi¢wci¡g?Podpowied¹:najłatwiejniewprost.

2.2-gagrupa,Wst¦pdomatematyki,kolokwiumII

Nale»ywybra¢5zada«dooceny.Dozdobyciajest25punktów.Nieka»de

pi¦¢zada«(nawetidealniezrobionych)mo»eda¢25punktów.Wraziegdyby

zadanianieszłyzupełnie,prosz¦pisa¢deﬁnicjepoj¦¢wyst¦puj¡cychwzada-

niu,b¦d¦przyznawałzatopunkty“ratunkowe”.Tasamadeﬁnicjawkilku

zadaniachb¦dzieliczonatylkoraz.Np.wpierwszymzadaniumo»nanapi-

sa¢cotoznaczy,»emoces¡równe,milewiedzianejestrównie»twierdzenie

Cantora-Bernsteinaitd.

Powodzenia!

Zad2.1. (4pkt)Poda¢,jakmaj¡si¦dosiebiemocedwóchzbiorówpodanych

wka»dympodpunkcie.Je±limamy ¬ i 6 =,topiszemy < .Nietrzebatego

uzasadnia¢.

i) { p q 2 Q: p · q =2 } ...... { a 2 N:4 · a ¬ 16 }

ii)Q ...... R

iii)N × N ...... N

Zad2.2. (4pkt)Którezpodanychzbioróws¡funkcjami?Zczegowco?

i)R ×{ 5 }

ii) {| , 8 }×{| , }

iii) { 1 , 4 }×{ 8 }

iv) { < 1 , 2 >,< 2 , 3 >,< 3 , 4 >,< 5 , 2 > }

v) { < 0 , 2 >,< 2 , 0 >,< 1 , 2 >,< 2 , 3 > }

Zad2.3. (5pkt)ZdeﬁniujzawartewNzbiorysko«czone A n ,dla n 2 Ntak,

a»eby A 0 = { 0 } ,oraz | A k +1 | = | A k |· 2,dla k> 0.

Zad2.4. (5pkt)Wyka»,»e:

i) | [0 , 1) | = | [ − 1 , 1) |

ii) | ( − 1 , 1] | = | ( − 1 , 1) [{ 2007 }|

Zad2.5. (5pkt)Wyka»,»eje±li | A |¬| B | ,toistnieje A B taki,»e

| A | = | A | .Podpowied¹:Rozpiszzało»enieizauwa»,»eka»dafunkcjaró»-

nowarto±ciowajest“na”swójzbiórwarto±ci,wi¦cjestbijekcj¡mi¦dzyswoj¡

dziedzin¡aswoimzbioremwarto±ci.

Zad2.6. (6pkt)Niechfunkcja f :(0 , 1) ! Rb¦dzietaka,»e: f ( x )tonumer

pierwszegomiejscapoprzecinkuwrozwini¦ciudwójkowym x ,naktórym

jest0(licz¡cmiejscetu»poprzecinkujakozerowe,tzn.NIEpierwsze),nie

bierzemypoduwag¦rozwini¦¢,gdzieodpewnegomiejscas¡samejedynki.

Np.: f (0 , 01010 ... )=1, f (0 , 00010 ... )=3, f (0 , 1110 ... )=0.Przypomnienie:

0 ,abcd... = a 2 + b 4 + c 8 + d 16 + ... .

i)Znajd¹zbiórwarto±cifunkcji f .

ii)Czytafunkcjajest“na”R?Czyjest“1-1”?Dlaczego?

Zad2.7. (6pkt)Funkcja f –jakwpoprzednimzadaniu.Znajd¹zbiory:

i) f [(0 , 1

Zad2.8. (6pkt)Dlaczegowszystkichci¡gówliczbcałkowitychniedasi¦

ustawi¢wci¡g?Podpowied¹:najłatwiejniewprost.

900000 )].

ii) f − 1 [ { 1 } ].

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: