wtm01_04.pdf

ZadaniazWprowadzeniadoTeoriiMnogo–ci

27/03/2009

Grupa1

Wraziepodejrzenia,»ezadaniejestb“ƒdne,proszƒuprzejmieomo»liwieszybkikontakte mailowy

henrykm@mimuw.edu.pl.

(36)Naparachliczbporz¡dkowychwprowadzamyporz¡dek

(;)(;)

je–limax(;)<max(;)lubmax(;)=max(;)i( < lub(=i )).

Wyka»,»edlaka»dejliczbykardynalnej,porz¡dekj()()jestdobry.Zfaktu

wykazanegonapierwszych¢wiczeniachwynika,»eistniejedok“adniejednaliczbaporz¡dkowa

taka,»e(;)jestporz¡dkowoizomor cznez j()().Wyka»,»et¡liczb¡

jest.

Uwaga.Stanowitodow ó dtwierdzenieHessenbergapodanyprzezJourdainaw1908roku.

Je–litaksiƒz“o»y“o,»etendow ó djestPa«stwuznany,toprosi“bymoprzyjrzeniesiƒdowo-

dowibazuj¡cemunalemacieKuratowskiego Zorna.Dow ó dtenpoleganaaproksymacjach

izomor zmuznazapomoc¡r ó »nowarto–ciowychfunkcjiA naAA .

Funkcjetakietworz¡czƒ–ciowyporz¡dekzewzglƒdunainkluzjeielementmaksymalnywtym

porz¡dkuokazujesiƒby¢izomor zmemzna .Szczeg ó “ymog¡Pa«stwoznale„¢w

dodatkuoliczbachkardynalnychwpodrƒcznikuW.GuzickiegoiP.Zakrzewskiego.

! 1 n [

n 2N

A ;n

jestconajwy»ejprzeliczalny.

Uwaga.TojestmacierzUlama.

(39)(Ulam)Miar¡bezatomow¡naP(! 1 )nazywamyodwzorowanie:P(! 1 )![0;1]takie,»e

(a)dlaparamiroz“¡cznejrodzinyA n ! 1 (n 2N)zachodzi

[

= X

n 2N

A n

(A n );

n 2N

(b)dlaA;B ! 1 takich,»eA Bzachodzi

(A) (B);

(c)dlaka»degox 2 ! 1 zachodzi

(fxg)=0:

(d)(! 1 )=1.

Wyka»,»enieistniejemiarabezatomowa:P(! 1 )![0;1].Uwaga.Toniezaprzecza

istnieniumiarynaP(R),oczywi–cieoileprzypu–cimy,»ejRj > @ 1 .Okazujesiƒcowiƒcej,»e

mo»naskonstruowa¢miarƒnaP(R),kt ó rarozszerzamiarƒLebesgue’a.

(37)Wyka»,»eje–lizbi ó rIsk“adasiƒzliczbkardynalnych,to S Ite»jestliczb¡kardynaln¡.

(38)Wyka»,»eistniejemacierzfA ;n : < ! 1 ;n < !gtaka,»e

(a)dlaka»degon < !,je–li 6=,toA ;n \A ;n =;,

(b)dlaka»degozbi ó r