wtmnapismie.pdf

Zadanianapi–miezWprowadzeniadoTeoriiMnogo–ci

Po“¡czoneserieIiII

18/05/2009

Grupa1

Proszƒwybra¢czteryzadaniazpiƒciu.Rozwi¡zaniaproszƒwrzuca¢dokopertynadrzwiachpokoju

5290wterminiedo5czerwcadogodziny14:00.Zadanias¡r ó wnopunktowane.

(1)Wyka»,»eistniejepodzia“p“aszczyznynaokrƒgiopromieniu1.Bardziejformalnie,wyka»,

»eistniejerodzinaRP(R

2 .

(2)Wyka»,»eHipotezaContinuumzachodziwtedyitylkowtedy,gdyliczbyrzeczywisteRmo»na

podzieli¢naprzeliczalniewielezbior ó wP n (n 2N)takich,»eje–lidlar ó »nychliczbrzeczy-

wistychzachodzir ó wno–¢x+y=u+v,tox;y;u;vnienale»¡dojednegozbioruP n .

Uwaga.Przyza“o»eniuHipotezyContinuumdzia“atudo–¢standardowerozumowanie

przezindukcjƒ.Wprzeciwn¡stronƒmo»eby¢wygodnieudowodni¢pomocniczyfakt,»eje–li

f:AB ! !,jAj=@ 1 ,jBj=@ 2 ,toistniej¡A 0 A,B 0 B,jA 0 j=jB 0 j=2takie,»e

zbi ó rA 0 B 0 jestmonochromatyczny,czyliistniejen 0 takie,»edlaka»dycha 2 A 0 ib 2 B 0

zachodzif((a 0 ;b 0 ))=n 0 .

(3)NiechFbƒdzie ltremna!.Baz¡Fnazywamypodzbi ó rB Ftaki,»edlaka»degoA 2F

istniejeB 2Btaki,»eB A.

(a)Wyka»,»eje–liFjestultra ltremnieg“ ó wnymna!iBFjestbaz¡,to

jBj@ 1 :

(b)Wyka»,»eistniejeultra ltrFna!taki,»edlaka»dejbazyBFzachodzijBj2 ! .

(4)Wyka»,»eje–liprzestrze«Hausdor aXjesto–rodkowa,tojXj 2 2 ! .Wyka»,»eje–liY

jestprzestrzeni¡Hausdor aijYj2 2 ! ,towYmo»naznale„¢podzbi ó rdyskretnymocy@ 1 .

Uwaga.Wdrugiejczƒ–cizadaniamo»nasiƒpos“u»y¢odpowiedniodobranymkolorowaniem

na27kolor ó w.

(5)Wyka»,»edlaka»dejregularnejliczbykardynalnej idlaka»dejfunkcjif:[] 2 ! f0;1g

istniejepodzbi ó rA ,jAj=taki,»edlaka»dych; 2 A, 6=zachodzif(f;g)=0,

lubistniejepodzbi ó rB ,Bizomor cznyporz¡dkowozliczb¡przeliczaln¡!+1taki,»e

dlaka»dych; 2 B, 6=zachodzif(f;g)=1.Uwaga.OzbiorzeAmo»natwierdzi¢,

»ejeststacjonarnyw,awdowodziemo»napos“u»y¢siƒLematemFodora.

2 )onastƒpuj¡cychw“asno–ciach

(a)ka»dyelementRjestokrƒgiemopromieniu1,

(b)dlaka»dychS;T 2R,S 6=T,zachodziS \T=;.