Zadania10.pdf

Zadaniadomowe

14stycznia2003

Wszystkiezadanias¡nieobowi¡zkowe.Je±lijednakkto±zdecydujesi¦odda¢rozwi¡zania,tozostan¡oneocenione.

1.(2p)Udowodnij,»ewarunkiemkoniecznymiwystarczaj¡cymnatoabyposetbyłuporz¡dkowany

liniowojest,byka»dyantyła«cuchbyłconajwy»ejjednoelementowy.

2.(3p)Wzbiorze R R gdzie R oznaczazbiórnieujemnychliczbrzeczywistych,wprowad¹myrelacj¦ S w

sposóbnast¦puj¡cy:

8 f,g :R ! R ( fSg ()8 x 2 R f ( x ) ¬ g ( x ))

(a)udowodnij,»erelacjaSjestcz¦±ciowymporz¡dkiem

(b)wska»elementywyró»nione(ekstremalne)

3.(2p)Wzbiorze R R gdzie R oznaczazbiórnieujemnychliczbrzeczywistych,wprowad¹myrelacj¦ S w

sposóbnast¦puj¡cy:

8 f,g :R ! R ( fSg ()9 x 2 R f ( x ) ¬ g ( x ))

Sprawd¹czyrelacja S jestcz¦±ciowymporz¡dkiem

4.(5p)Wposecie( X,R )element x 2 X nazywamynast¦pnikiemelementu y 2 X wtwgdy y 6 = x ^ yRx ^

8 z 2 X [( yRz ^ zRx ) ! ( z = y _ z = x )].

Analogicznie x 2 X nazywamypoprzednikiemelementu y 2 X wtwgdy y 6 = x ^ xRy ^8 z 2 X [( xRz ^

zRy ) ! ( z = y _ z = x )].

(a)Podajprzykładposetuwktórymka»dyelementmanast¦pnikika»dyelementmapoprzednik

(b)Podajprzykładposetuwktórymistniejeelemetniemaj¡cynast¦pnika,któryniejestelementem

maksymalnym

(c)Podajprzykładposetuwktórymka»dyelementmadokładniedwanast¦pnikiiconajwy»ejjeden

poprzednik.Czyistniejetakiposetomocycontinuum?

(d)Podajprzykładniesko«czonegoposetu,któryjestuporz¡dkowanyliniowo,wktórym»adenz

elementówniemanast¦pnikai»adenniemapoprzednika.

(e)Czyistniejeniepustyposetwktórymka»dyelementmapoprzedniki»adenelementniema

nast¦pnika?