wykład 4.pdf

4Wykład4.Przestrze«wektorowa.Metryka.

Wykładtenpo±wi¦conyjestpoj¦ciuprzestrzeniorazpoj¦ciuodległo±ci.Zobaczymy,»eniechodzi

tutylkooprzestrze«ﬁzyczn¡iodległo±¢mierzon¡wmetrach.Czymo»nawsensownysposób

mówi¢oodległo±cipomi¦dzydwomagatunkamipierwotniaków?

5Przestrze«IR n

Produkt n kopizbioruliczbrzeczywistychIRczyli

z }| {

IR × ... × IR

nazywasi¦przestrzeni¡kartezja«sk¡ioznaczaIR n .Elementamitejprzestrzenis¡ n -tkiliczb

( x 1 ,x 2 ,...,x n ) .

którenazywamypunktamio n współrz¦dnych.Naka»dejwspółrz¦dnejmo»esta¢dowolnaliczba

rzeczywista.Zpunktuwidzeniageometriiwprzypadku n =1zbiórliczbrzeczywistychuto»sa-

miamyzlini¡prost¡,dla n =2zbiórIR 2 zpłaszczyzn¡aIR 3 zprzestrzeni¡trójwymiarow¡,która

zgodniezobowi¡zuj¡cymiteoriamiﬁzycznymijestmodelemprzestrzeniﬁzycznej.Liczb¦ n na-

zywasi¦tuwymiaremprzestrzeni.Ideawprowadzeniaukładuwspółrz¦dnychdlareprezentowania

punktówprzestrzeniirozwi¡zywaniazagadnie«geometrycznychpochodziodKartezjusza(Rene

Descartes’a(1596-1650))inapewnonale»ydokluczowychosi¡gni¦¢maj¡cychwpływnarozwój

matematykiinaukprzyrodniczych.Dzi¦kiwprowadzeniuukładuwspółrz¦dnychwielezada«geo-

metriiznaczniesi¦upraszcza.Takiepodej±ciedozagadnie«geometriimie±cisi¦wramachdziału

matematykizwanegogeometri¡analityczn¡.We¹mydlaprzykładudwaró»nepunkty A i B na

prostej.ebyznale¹¢punktrównoodległyodobupunktówczyli±rodekodcinka( AB )wklasycz-

nejgeometriinale»yprzypomocycyrklailinijkiwyznaczy¢symetraln¡odcinka,którejprzeci¦cie

zodcinkiem( A,B )wyznaczajego±rodek.Zamiasttegowprowad¹myukładwspółrz¦dnychna

prostejprzechodz¡cejprzeztedwapunktywybieraj¡cjakikolwiekpunktnatejprostejjakopunkt

owspółrz¦dnej x =0,b¦d¡cypunktemodniesieniawzgl¦demktóregookre±lasi¦współrz¦dne

wszystkichpozostałychpunktównaprostej.Wtedypunkt A ma,powiedzmy,współrz¦dn¡ a a

punkt B współrz¦dn¡ b. rodekodcinka( AB )okre±lapunkt a + b

2 bo | a − a + b

2 | = | b − a + b

2 | = a − b

2 .

−! p,q =[ q 1 − p 1 ,...,q n − p n ] T =

6 6 4

q 1 − p 1

. . .

q n − p n

7 7 5 .

Przyjmujemykonwencj¦,»ewektorwukładziewspółrz¦dnychprzedstawianyjestwpostaciko-

lumnywktórejkolejnewspółrz¦dnezapisanes¡jednapoddrug¡.Litera T ugóryoznaczatzw.

Ka»dauporz¡dkowanaparapunktówzIR n ,( p,q ),okre±latzw.wektor −! p,q opocz¡tkuwpunkcie

p (zaczepionyw p )iko«cuwpunkcie q .Zdrugiejstronyka»dypunkt p mo»naidentyﬁkowa¢z

wektorem −! 0 ,p gdzie 0 oznaczapunkt(0 , 0 ,..., 0)zwanytak»e±rodkiemukładuwspółrz¦dnych.

Je±li p =( p 1 ,...p n )i q =( q 1 ,...,q n )towektor −! p,q mawspółrz¦dne

transpozycj¦wektora,czylizamian¦wektoraowspółrz¦dnychzapisanychwwierszunawektor

kolumnowyiodwrotnie.

Wektoryzaczepionew±rodkuukładuwspółrz¦dnychdodajesi¦imno»yprzezliczbywykonuj¡c

wszystkieoperacjeoddzielniepowspółrz¦dnych.Je±liteoperacjes¡okre±lonetotak¡przestrze«

wektorównazywamyprzestrzeni¡liniow¡(lubwektorow¡).Naponi»szymrysunkuwidzimy,

»ewektor Z wyznaczonyprzezreguł¦równoległobokujakosumadwóchwektorów V =[ p 1 ,p 2 ] T i

W =[ q 1 ,q 2 ] T mawspółrz¦dne Z =[ p 1 + q 1 ,p 2 + q 2 ] T .

Rys.4.1Dodawaniewektorów.

Zakropkowanyobszarrównoległobokunarysunkuponi»ejprzedstawiazbiórwszystkichwekto-

rówpostaci aw 1 + bw 2 takich,»e a jestdowoln¡liczb¡zprzedziału[0 , 2],za± b jestdowoln¡liczb¡

zprzedziału[0 , 1].Wyró»nionywektorw±rodkurównoległobokuodpowiada a =3 / 2i b =1 / 3.

Rys.4.2

Wyobra¹mysobieprzestrze«IR 3 iwniejdwawektory V 1 i V 2 zaczepionewpunkcie(0 , 0 , 0).Je»eli

niele»¡onewjednejprostejtowyznaczaj¡onepłaszczyzn¦,któr¡otrzymujesi¦tworz¡cwszyst-

kietzw.kombinacjelinioweczylisumypostaci V 1 + V 2 gdzie oraz przyjmuj¡niezale»nie

dowolnewarto±cirzeczywiste.Mówimy,»edwawektory,któreniele»¡wjednejprostejrozpinaj¡

płaszczyzn¦.Podobnietrzywektory,któreniele»¡wjednejpłaszczy¹nierozpinaj¡przestrze«

trójwymiarow¡.Minimalnaliczbawektorówpotrzebnadorozpi¦ciadanejprzestrzeni

liniowejokre±lajejwymiar.

Uwaga1Jestrzecz¡ciekaw¡dlaczegoniepotraﬁmywyobrazi¢sobiewizualnieobiektówwprze-

strzeniowy»szejliczbiewymiarówni»trzy.Mo»natuprzyj¡¢»esposóbwjakinaszemózgiob-

razuj¡±wiatpostrzeganyzmysłowozostałukształtowanywwynikuprocesówewolucyjnych,które

miałynasnajlepiejprzystosowa¢dofunkcjonowaniaw±rodowisku.Naszaniemo»no±¢wyobra»e-

niasobiewy»szychwymiarówni»trzyjestjakbyewolucyjnymwsparciemtezyotrójwymiarowo±ci

przestrzeniﬁzycznej,którawrazzwymiaremczasowymtworzytakzwan¡czasoprzestrze«.Mimo

tego,»eniemo»emysobiewizualizowa¢tychwielowymiarowychobiektówdzi¦kiskutecznymdeﬁni-

cjommo»emyliczy¢odległo±cimiedzypunktamiczypolatrójk¡tówtak»ewprzestrzeninp.IR 2005

Takaumiej¦tno±¢mo»eby¢przydatna.

Wyobra¹mysobieczterypopulacje»yj¡cewjakiej±niszyekologicznej.Wdanejchwiliczasu

zag¦szczeniatychpopulacjimo»emyprzedstawi¢jakokolejnewspółrz¦dnepunktuzprzestrzeni

IR 4 .Naka»d¡populacj¦przypadajednawspółrz¦dnawektora.

Wmatematycewyst¦puj¡tak»einnekoncepcjewymiaruis¡u»ywanenp.docharakteryzowania

bardziejskomplikowanychzbiorówtakichjaknaprzykładfraktaleoktórychniecowi¦cejpowiemy

wRozdz.11.

6Macierze

Funkcje,któreprzekształcaj¡wektorynawektoryizachowuj¡struktur¦przestrzeniliniowejIR n

zadajesi¦przypomocymacierzy.

Deﬁnicja2Macierz¡o n wierszachi m kolumnachowspółczynnikachzezbioru X ozn.[ a ij ] j =1 ...m

i =1 ...n

nazywamyfunkcj¦okre±lon¡naprodukcie

{ 1 , 2 ,...,i,...,n }×{ 1 , 2 ,...,j,...,m }

owarto±ciachzezbioru X .Zatemparzepunktów( i,j )przyporz¡dkowanajestelement a ij .Wygod-

niejestprzedstawi¢warto±citejfunkcjiwpostacitablicyo n wierszachi m kolumnach.W i -tym

wierszuwyst¦pujezatemwektor

[ a i 1 ,a i 2 ,...,a i,j ...a i,m ] .

czylimamy

a 11 a 12 a 13 ··· a 1 m

a 21 a 22 a 23 ··· a 2 m

a 31 a 32 a 33 ··· a 3 m

. . . . . . . . . . . . . . .

a n 1 a n 2 a n 3 ··· a nm

6 6 6 6 6 6 6 4

7 7 7 7 7 7 7 5

Uwaga3Liczby i,j nazywasi¦wtymkontek±cieindeksami.Zwró¢myuwag¦,»enajcz¦±ciej

rozwa»asi¦ X =IRlub X =C || .Mówimywtedymacierzrzeczywistalub,odpowiedniomacierz

zespolona.

Je»elijaka±macierzrzeczywista M ma n wierszyi m kolumnidanyjestwektor v =[ v 1 ,v 2 ,...,v m ] T

o m współrz¦dnychtomo»nazdeﬁniowa¢mno»eniemacierzyprzezwektor,którezapisujemy

jako Mv .Wwynikuotrzymujesi¦wektor w = Mv o n współrz¦dnych,taki,»e i -tawspółrz¦dna

wektora w okre±lonajestnast¦puj¡co

w i =

m X

a ij v j i =1 ,...n.

j =1

Jesttoprzekształcenieliniowetoznaczy,takie,»ekombinacjeliniowewektorównp. v 1 i v 2 prze-

kształcaononakombinacjeliniowewektorów Mv 1 i Mv 2 tzn.dladowolnychliczb ,

M ( v 1 + v 2 )= Mv 1 + Mv 2 .

Wpowy»szysposóbzapomoc¡macierzyzadali±myprzekształcenie(funkcj¦),którawektoryzIR m

przekształcanawektoryzIR n .Tegotypuprzekształcenianale»¡,wpewnymsensie,donajprost-

szychfunkcji,któremo»naokre±li¢wprzestrzeniachwektorowych.

Przykład4.1Przykładowywektor[0 , − 1 , 2] T 2 IR 3 wymna»amyprzezprzykładow¡macierzo

trzechkolumnachiczterechwierszach.Wrezultacieotrzymujemywektor[8 , − 1 , − 5 , − 1] T 2 IR 4 .

6 6 6 4

1 − 23

2 1 0

0 3 − 1

− 55 2

7 7 7 5

6 4

− 1

7 5 =

6 6 6 4

0+( − 2)( − 1)+3 · 2

0+(1)( − 1)+0

0+3( − 1)+2( − 1)

0+5( − 1)+2 · 2

7 7 7 5 =

6 6 6 4

− 1

− 5

− 1

7 7 7 5

Dziedzin¡matematyki,którazajmujesiebadaniemwłasno±citakichprzekształce«liniowychjest

algebraliniowa.Zauwa»mytak»e,»emaj¡cdeﬁnicj¦mno»eniamacierzyprzezwektorwnatu-

ralnysposóbmo»nazdeﬁniowa¢mno»eniedwóchmacierzyoileichliczbykolumniwierszys¡

odpowiedniouzgodnione.

Iloczynemmacierzy M o n wierszachi m kolumnachimacierzy N o m wierszachi p

kolumnachjestmacierzo n wierszachi p kolumnach,któr¡otrzymujesi¦wymna»aj¡c

macierz M przezkolejnewektorykolumnymacierzy N .

Zdeﬁnicjiwynika,»eka»dedwiemacierzekwadratowetzn.macierzeoliczbiekolumnrównej

liczbiewierszymo»naprzezsiebiemno»y¢.Ciekawejestto,»ewodró»nieniuodmno»enialiczb

rzeczywistychlubzespolonychmno»eniemacierzywogólno±cizale»yodkolejno±ci,czyliniejest

przemiennenp. " 10

1 · 0+0 · 1 1 · 2+0 · 0

2 · 0+1 · 1 2 · 2+1 · 0

ale " 02

0 · 1+2 · 2 0 · 0+2 · 1

1 · 1+0 · 2 1 · 0+0 · 1

7Metryka

Okazujesi¦,»eodległo±¢mi¦dzypunktamidanegozbiorumo»namierzy¢nabardzowielesposobów

tzn.odległo±¢mi¦dzydwomapunktamimo»eby¢ró»nawzale»no±ciodtegojakj¡mierzymy.

Funkcj¦,któraokre±la,takczyinaczejrozumian¡,odległo±¢mi¦dzypunktaminazywasi¦metryk¡.

Jakiewłasno±ciwinienmie¢pomiarodległo±ci?Niew¡tpliwie,popierwszeodległo±¢punktu

odsiebiesamegopowinnaby¢równazeroijesttojedynyprzypadek,gdyodległo±¢zerujesi¦.

Podrugieodległo±¢dwóchpunktówjestsymetryczna,niezale»yzatemodtegoczymierzymyj¡

poczynaj¡codjednegoczyoddrugiegopunktu.Nakoniecwreszciechcemyabydladowolnych

dwóchpunktów x i y odległo±¢miedzy x i y niebyłazbytdu»aje±liistniejejaki±punktniezbyt

odległyzarównood x jakiod y .Bardziejprecyzyjnieujmujesi¦totak

Deﬁnicja4Przestrzeni¡metryczn¡nazywamyzbiór X wrazzfunkcj¡dwóchzmiennychzwan¡

metryk¡ % : X × X ! IRowarto±ciachnieujemnychspełniaj¡c¡nast¦puj¡cewłasno±ci:Dla

dowolnych x,y,z 2 X

1 .% ( x,y )=0 w.t.w.gdy x = y

2 .% ( x,y )= % ( y,x ) (symetryczno±¢)

3 .% ( x,y ) ¬ % ( x,z )+ % ( y,z )nierówno±¢trójk¡ta)

Wida¢odrazu,»emetrykjestbardzowielegdy»danametryka % ( x,y )wymno»onaprzezliczb¦

dodatni¡ a jestwci¡»metryk¡tzn. % 2 = a% ( x,y )spełniawarunkideﬁnicji1–3.(Niejesttozreszt¡

sprzecznezintuicj¡.Takiemno»eniemetrykiprzezliczb¦mo»naporówna¢dookre±laniaodległo±ci

wró»nychsystemachmiar.ItakdlaPolakaodległo±¢mi¦dzyWarszaw¡aKrakowemwynosi

294km,aledlaAnglikatob¦dzie182,6mili,marynarzpowie,»eodległo±¢wynosi158,8mili

morskiej.T¦odległo±¢mo»emywyrazi¢tak»ewcentymetrach,calach,stopachczyłokciach—za

ka»dymrazemmno»¡c„oryginaln¡”metryk¦przezjak¡±liczb¦.Zdrugiejstronymetrykniemusi

ró»ni¢tylkopomno»enieprzezliczb¦—wiadomo,»ejad¡czKrakowadoZakopanegosamochodem

przebywasi¦104km,za±jad¡ckolej¡pokonujemy147km.)Podobniemo»nasprawdzi¢,»esuma

dwóchmetrykokre±lonychnadanymzbiorzejestrównie»metryk¡.Je»elizmierzymyodległo±¢

dwóchpunktówwjednejmetryce % 1 apotemwdrugiej % 2 iwe¹miemywi¦ksz¡ztychliczbtow

tensposóbtak»eokre±lamynow¡metryk¦

% ( x,y )=max( % 1 ( x,y ) ,% 2 ( x,y )) .

SprawdzenietegofaktupozostawiamyCzytelnikowi.

Je»eliwprzestrzeniIR n wprowadzisi¦poj¦cieodległo±cipunktów(czylimetryki)tomo»nadalej

opisywa¢analitycznie(tzn.zapomoc¡wzorów)ró»neﬁgurygeometryczne:proste,trójk¡ty,okr¦gi

(sfery),elipsyi.t.d.Dyscyplin¡matematyki,którazajmujesi¦badaniemwłasno±cimetrycznych

ró»nychzbiorówjestgeometria.

Deﬁnicja5Okr¦giem(lubinaczejsfer¡)wprzestrzenimetrycznej( X,% )o±rodkuwpunkcie

x 0 2 X ipromieniu r> 0nazywamyzbiórpunktówodległycho r odpunktu x 0 ioznaczamy

O r % ( x 0 ) .

O r % ( x 0 ):= { x 2 X : % ( x 0 ,x )= r } .

Przykładyprzestrzenimetrycznych.

1. X =IRidladowolnych x,y 2 IRrozpatrzmyliczb¦ % 1 ( x,y )= | x − y | równ¡długo±ciodcinka

[ x,y ] .

2.Metrykaeuklidesowa.Nazw¦nadanonacze±¢Euklidesa,wybitnegomatematykagreckiego

zIVw.p.n.e. X =IR n idladowolnych

x,y 2 IR n ,x =( x 1 ,...,x n ) ,y =( y 1 ,...,y n )

% 2 ( x,y )=

( x 1 − y 1 ) 2 +( x 2 − y 2 ) 2 + ... +( x n − y n ) 2 .

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: