macierze_w01.pdf
(
428 KB
)
Pobierz
RACHUNEK MACIERZOWY
Definicja macierzy Typy i wła±ciwo±ci macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy Na zako«czenie
RACHUNEK MACIERZOWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
rok akademicki 2010/2011
Instytut L-5, Wydział In»ynierii L¡dowej, Politechnika Krakowska
AdamWosatko
EwaPabisek
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY
Definicja macierzy
Typy i wła±ciwo±ci macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy Na zako«czenie
Czym jest macierz?
Definicja
Macierz¡
A
nazywamy funkcj¦ dwóch zmiennych,
która parze
(
i
,
j
)
przyporz¡dkowuje dokładnie jeden element
a
ij
,
przy czym
i
=
1
,
2
,...,
m
, natomiast
j
=
1
,
2
,...,
n
.
Tworzy si¦ w ten sposób
zbiór
m
·
n
elementów
umieszczonych w tablicy o
m
wierszach i
n
kolumnach.
2
a
11
a
12
···
a
1
j
···
a
1
n
a
21
a
22
···
a
2
j
···
a
2
n
. .
.
.
.
.
···
.
a
i
1
a
i
2
···
a
ij
···
a
in
. .
···
.
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
···
a
mj
···
a
mn
3
A
=
4
5
Ogólnie dany element macierzy
a
ij
mo»e by¢ np. liczb¡ rzeczywist¡,
liczb¡ zespolon¡, operatorem (np. ró»niczkowania, całkowania),
wielomianem lub wektorem.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY
Definicja macierzy
Typy i wła±ciwo±ci macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy Na zako«czenie
Czym jest macierz?
Inny zapis
A
=[
a
ij
]
, gdzie:
i
=
1
,
2
,...,
m
,
j
=
1
,
2
,...,
n
A
=[
a
ij
]
[
m
×
n
]
=
A
[
m
×
n
]
[
m
×
n
]
- wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn)
i
- indeks numeracji wierszy
j
- indeks numeracji kolumn
Dalsze rozwa»ania ograniczymy wył¡cznie do
macierzy rzeczywistych
,
tzn. dla których element
a
ij
jest liczb¡ rzeczywist¡.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY
Definicja macierzy
Typy i wła±ciwo±ci macierzy
Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy Na zako«czenie
Ró»ne typy macierzy
Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa
Je±li
m
6
=
n
to macierz
A
nazywamy
prostok¡tn¡
.
Je±li
m
=
n
=
N
to macierz
A
nazywamy
kwadratow¡
(stopnia
N
).
Przek¡tna główna macierzy kwadratowej
A
[
n
×
n
]
składa si¦ z elementów
a
ii
, gdzie
i
=
1
,
2
,...,
n
. Macierz kwadratowa
A
[
n
×
n
]
, w której wszystkie
elementy poza przek¡tn¡ główn¡ s¡ zerowe, nazywa si¦ macierz¡
diagonaln¡
(oznaczon¡
D
).
Je±li wszystkie elementy macierzy diagonalnej maj¡ warto±¢ 1, to taka
macierz stanowi macierz
jednostkow¡
(oznaczon¡
I
).
2
4
3
5
2
4
3
5
D
[
n
×
n
]
=
a
11
0
···
0
0
a
22
···
0
.
.
.
.
.
.
I
[
n
×
n
]
=
1 0
···
0
0 1
···
0
. .
.
.
.
.
0 0
···
1
0
0
···
a
nn
D
=
diag
(
a
ii
)
I
=[
ij
]
[
n
×
n
]
,
gdzie
ij
=
0 dla
i
6
=
j
1 dla
i
=
j
ij
– symbol Kroneckera
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY
Definicja macierzy
Typy i wła±ciwo±ci macierzy
Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy Na zako«czenie
Ró»ne typy macierzy
Macierz transponowana
Macierz
A
T
jest
transponowana
wzgl¦dem macierzy
A
, je±li
a
ij
=
a
T
ji
(wiersze zamieniamy z kolumnami).
2
a
11
a
12
···
a
1
n
a
21
a
22
···
a
2
n
. .
.
.
.
.
a
m
1
a
m
2
···
a
mn
3
2
a
11
a
21
···
a
m
1
a
12
a
22
···
a
m
2
. .
.
.
.
.
a
1
n
a
2
n
···
a
mn
3
A
[
m
×
n
]
=
4
5
A
T
[
n
×
m
]
=
4
5
Wła±ciwo±ci macierzy transponowanej:
A
T
T
1
=
A
2
(
A
)
T
=
A
T
,
– liczba rzeczywista
3
(
A
+
B
)
T
=
A
T
+
B
T
4
(
AB
)
T
=
B
T
A
T
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RACHUNEK MACIERZOWY
Plik z chomika:
m_i_c_h_a_l
Inne pliki z tego folderu:
belka 2.docx
(10 KB)
belka matlab.doc
(19 KB)
calkrozn_10s.pdf
(5253 KB)
Kol1_przyklady.pdf
(71 KB)
Kol2_zad_roz.pdf
(111 KB)
Inne foldery tego chomika:
architektura
Budo_przem
budownictwo ogólne
chemia budowlana
drogi szynowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin