MRS.pdf

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Problem brzegowy

Zadanie 1 . Rozwiążproblembrzegowymetodąróżnicową:

y ′′ +3 xy =9 x 2 +6 x − 5 , x ∈ [0 , 1] , y (0)= − 1 , y (1)=2 .

Przyjackrok h =1 / 3 .

Odpowiedź :

Korzystajączewzorunadrugąpochodną

y ′ i = y i − 1 − 2 y i + y i +1

h 2

otrzymujemy:

y 0 − 2 y 1 + y 2

( 1 3 ) 2

+3 1 3 y 1 =9( 1 3 ) 2 +6 1 3 − 5

y 1 − 2 y 2 + y 3

( 1 3 ) 2

+3 2 3 y 2 =9( 2 3 ) 2 +6 2 3 − 5

Pouwzględnieniuwarunkówbrzegowych y 0 = − 1 i y 3 =2 równanieprzyjmiepostać

− 17 y 1 +9 y 2 =7

9 y 1 − 16 y 2 = − 15

Stąd y 1 = y (1 / 3)=0 . 1204 oraz y 2 = y (2 / 3)=1 . 0052

Zadanie 2 . Metodąróżnićskończonychrozwiązaćproblembrzegowy:

y ′′ +(1+ x 2 ) y = − 1 y = y ( x )

y ( − 1)= y (1)=0

Przyjąćpodziałprzedziału[ − 1 , 1]naczteryczęści( h =0 . 5).

Wskazówka:Wceluuproszczeniaobliczeń możnaskorzystaćzsymetriirozwiązania,

tzn. y ( x )= y ( − x ) .

Zadanie 3 . Problembrzegowy:

y ′′ = y ′ +2 y +cos x, 0 x

2 ,

y (0)= − 0 . 3 , y

=0 . 1

marozwiązanie:

10 (sin x +3cos x ) .

Zastosowaćmetodęróżnicskończonychdlaotrzymaniarozwiązaniaprzybliżonegoiporównać

wynikizrozwiązaniemdokładnym.Przyjąć:

h =

y ( x )= −

4 , h =

6 .

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Problem brzegowy

Zadanie 4 . Metodąróżnicskończonychrozwiążnastępującezadania:

a) y ′′ + y =0 , 0 x , y (0)=1 , y ( )= − 1 , h = / 3;

b) y ′′ +4 y =cos( x ) , 0 x / 4 , y (0)=0 , y ( / 4)=0; h = / 12;

c) y ′′ = − 4 y ′ +4 y, 0 x 5 , y (0)=1 , y (5)=0 , h =0 . 2;

Zadanie 5 . Metodąróżnicskończonychrozwiążzadanie:

y ′′ = − ( x +1) y ′ +2 y +(1 − x 2 ) e − x ,

0 x 1 , y (0)= y (1)=0 , h =0 . 1

iporównajwynikizrozwiązaniemścisłym y =( x − 1) e − x .

Zadanie 6 . Znaleźćrozwiązaniezagadnieniabrzegowego

d 2 y

dx 2 − y =2 x − 1 ,

y (0)=0 y (8)=0 h =2 .

metodąróżnicskończonych.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: