prob_pocz.pdf

Przykładowe zadania problem początkowy : styczeń 2009

Zadanie 1 . RozwiązaćmetodąEulerapodanyproblempoczątkowy:

Odpowiedź :

PrzyrozwiązywaniudanegoproblemupoczątkowegometodąEulerawykorzystujesięnastępującą

formułęiteracyjną:

y k +1 = y k + h f ( x k ,y k ) , k =0 , 1 , 2 ,...

Wniniejszymzadaniufunkcja f ( x k ,y k ) mapostać:

f ( x k ,y k )=3 x 2 k − 2 y k .

Obliczenia rozpoczynamy wykorzystując warunek początkowy y ( x 0 ) = y 0 , czyli y (0) = 1 .

Wpierwszymkrokuiteracyjnym( k =0 )obliczamy y 1 wpunkcie x 1 = x 0 + h :

y 0+1 = y 0 + h (3 x 2 0 − 2 y 0 ) ,czyli

y 1 =1+0 , 1 (3 0 2 − 2 1 2 )=0 , 8 .

Wdrugimkrokuiteracyjnym( k =1 )obliczamy y 2 wpunkcie x 2 = x 1 + h korzystajączobliczo

negopowyżej y 1 =0 , 8 iprzyjmując x 1 = x 0 + h =0 , 1 :

y 2 = y 1 + h (3 x 2 1 − 2 y 1 )=0 , 675 .

Rozwiązaniem powyższego problemu początkowego jest funkcja y ( x ) , spełniająca warunek po

czątkowy y (0)=1 iokreślonawpunktach x 1 =0 , 1 i x 2 =0 , 2 ,gdzieodpowiednio y 1 =0 , 8 i

y 2 =0 , 675 .

Zadanie 2 . RozwiązaćmetodąEulerapodanyproblempoczątkowy:

Odpowiedź :

Rozwiązaniem powyższego problemu początkowego jest funkcja y ( x ) , spełniająca warunek po

czątkowy y (0)=1 iokreślonawpunktach x 1 =0 , 1 i x 2 =0 , 2 ,gdzieodpowiednio y 1 =0 , 7 i

y 2 =0 , 555 .

Zadanie 3 . RozwiązaćmetodąEuleraponiższeproblemypoczątkowe:

a) y ′ = t 2 , 0 t 2 , y (0)=0 , h =0 , 25,

b) y ′ = t y, 0 t 2 , y (0)=1 , h =0 , 25,

c) y ′ =2 t, 0 t 2 , y (0)=1 , h =0 , 25,

d) y ′ = − t y, 0 t 4 , y (0)=1 , h =1 , 00.

dx =3 x 2 − 2 y 2 , y (0)=1 , x ∈ [0;0 , 2]. Przyjąć h =0 , 1.

dx =2 x 2 − 3 y 2 , y (0)=1 , x ∈ [0;0 , 2]. Przyjąć h =0 , 1.

Przykładowe zadania problem początkowy : styczeń 2009

Zadanie 4 . Rozwiązać problem początkowy z zadania 1. metodą RungeKutty II rzędu.

Przyjąć h =0 , 1.

Odpowiedź :

PrzyrozwiązywaniudanegoproblemupoczątkowegometodąRKIIrz.wykorzystujesięnastępu

jącąformułęrekurencyjną(iteracyjną):

y k +1 = y k +0 , 5 ( k 1 + k 2 ) , k =0 , 1 , 2 ,...

gdzie: k 1 = h f ( x k ,y k ) , k 2 = h f ( x k + h,y k + k 1 ) .

Dla k =0 ,korzystajączwarunkupoczątkowegoobliczamy k 1 :

k 1 = h (3 x 2 0 − 2 y 0 )= − 0 , 2 .

Następnieobliczamy k 2 :

k 2 = h (3( x 0 + h ) 2 − 2( y 0 + k 1 ) 2 )= − 0 , 125 .

Orazostatecznie y 1 wpunkcie x 1 =0 , 1 :

y 1 = y 0 +0 , 5 ( k 1 + k 2 )=0 , 8375

Wdrugimkrokuiteracyjnym( k =1 )obliczamy y 2 wpunkcie x 2 =0 , 2 :

y 2 = y 1 +0 , 5 ( k 1 + k 2 )=0 , 8375+0 , 5( − 0 , 137+( − 0 , 086))=0 , 726

OtrzymanerozwiązanieróżnisięniecoodrozwiązaniaotrzymanegozapomocąmetodyEulera.

Zadanie 5 . Rozwiązać problem początkowy z zadania 2. metodą RungeKutty II rzędu.

Przyjąć h =0 , 1.

Odpowiedź :

y 1 =0 , 7775 , y 2 =0 . 6382

Zadanie 6 . Rozwiązaćproblemypoczątkowezzadania3.metodąRungeKuttyIIrzędu.

Zadanie 7 . Rozwiązaćmetodą Euleraorazmetodą RKIIrz.podanyukładrównańróż

niczkowychzwyczajnych:

1 ( t )=3 u 1 ( t )+2 u 2 ( t ) , 0 t 1 , u 1 (0)=0,

u ′ 2 ( t )=4 u 1 ( t )+ u 2 ( t ) , 0 t 1 , u 2 (0)=1.

Przyjąć h =0 , 50.Otrzymanewynikiporównaćzrozwiązaniemdokładnym:

u 1 ( t )= 1 3 ( e 5 t − e t ) , u 2 ( t )= 1 3 ( e 5 t − 2 e t ).

Zadanie 8 . Rozwiązaćproblemypoczątkowezzadania3.metodąRungeKuttyIVrzędu.

u ′

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: