4.6 Pochodne wyższych rzędów
Określenia
Definicja (Pochodna właściwa n-tego rzędu funkcji)
Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 określa się indukcyjnie następująco:
(4.6.1)
(4.6.2)
(4.6.3)
Definicja (Funkcja n-krotnie różniczkowalna)
Funkcję, która ma pochodną właściwą n-tego rzędu na przedziale, nazywamy n-krotnie różniczkowalną na tym przedziale.
Uwaga:
Dla istnienia n-tej pochodnej funkcji f w punkcie x0 konieczne jest istnienie pochodnej (n-1)-szej tej funkcji (także wszystkich poprzednich pochodnych) na pewnym otoczeniu punktu x0.
Uwaga: Pochodne wyższych rzędów oznacza się symbolami:
Pochodna n-ta iloczynu dwóch funkcji
Twierdzenie (Wzór Leibnitza[1])
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe n-tego rzędu w punkcie x0, to
(4.6.4)
Dla n=1
Dla n=2
Uwaga: Silnia
Uwaga: Symbol Newtona i jego własności
Pochodne rzędu n niektórych funkcji
Tablica
Funkcja f(x)
Pochodna f(n)(x)
sin(x)
(4.6.5)
cos(x)
(4.6.6)
ex
(4.6.7)
ax
ax(lna)n
(4.6.8)
xn
n!
(4.6.9)
(4.6.10)
(4.6.11)
(4.6.12)
ln(x), x>0
(4.6.13)
ln(x+1), x>-1
(4.6.14)
Tablica c.d.
sin(kx)
(4.6.15)
cos(kx)
(4.6.16)
ekx
knekx
(4.6.17)
akx
akx(k×lna)n
(4.6.18)
xm
m(m-1)(m-2)×…×(m-n+1)xm-n
(4.6.19)
xex
(x+n)ex
(4.6.20)
xln(x)
(4.6.21)
(4.6.22...
krenciolex