Równanie Bernoulliego.pdf

(438 KB) Pobierz
Microsoft Word - 5_Równ_Bern_straty.doc
5. Równanie Bernoulliego dla przepływu płynów rzeczywistych
Prostota równania Bernoulliego sprawia że stosowane jest ono również dla przepływu płynu
lepkiego, mimo że w tym przypadku wszystkie przemiany energii są nieodwracalne.
W przepływie między przekrojami 1-1 i 2-2 płyn lepki traci energię na skutek tarcia wewnętrznego
jak i tarcia o ściankę kanału, tak więc całkowita energia przepływającego płynu w przekroju 1-1 jest
większa od całkowitej energii w przekroju 2-2 i relację pomiędzy całkowitymi energiami w tym
przypadku można zapisać:
U
2
p
U
2
p
1
+
1
+
z
>
2
+
2
+
z
1
2
2g
ρ
⋅
g
2g
ρ
⋅
g
Jeżeli w powyższej zależności znak ">" zastąpimy przez "=” wówczas dla zachowania równości
energii występującej po obu stronach równania konieczne jest zwiększenie prawej strony o energię
straconą wskutek lepkości płynu, w wyniku czego otrzymamy równanie Bernoulliego dla płynu
lepkiego:
U
2
p
U
2
p
1
+
1
+
z
=
2
+
2
+
z
+
h
1
2
str
2g
ρ
⋅
g
2g
ρ
⋅
g
Człon h str oznacza wysokość strat energii pomiędzy rozpatrywanymi przekrojami, które są sumą
strat tarcia na długości rurociągu i wszystkich strat miejscowych na poszczególnych elementach
rurociągu:
L
U
2
U
2
h
=
λ
⋅
+
∑ξ
str
d
2
g
2
g
gdzie: λ - współczynnik strat tarcia λ = f ( Re , prędkości, chropowatości),
ξ - współczynnik strat lokalnych ξ = f (rodzaju przeszkody, prędkości).
70
712957500.008.png
PRZYKŁADOWE ZADANIA
Zadanie 5.1 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.2, str. 113)
Przez przewód z poziomym kolanem przepływa woda. Zmierzona różnica
poziomów wody w rurkach piezometrycznych przed i za kolanem wynosiła
h = 20 mmH 2 O. Średnica przewodu d = 30 mm, strumień objętości przepływu
Q = 1.5 dm 3 /s. Obliczyć wartość współczynnika straty lokalnej kolana.
Dane:
Wyznaczyć:
h = 20 mmH 2 O
ξ
d = 30 mm
Q = 1.5 dm 3 /s
Rozwiązanie:
U
2
p
U
2
p
1
+
1
+
z
=
2
+
2
+
z
+
h
1
2
str
2
⋅
g
ρ
⋅
g
2
⋅
g
ρ
⋅
g
1-1 – przekrój, w którym wpływa czynnik do kolana
2-2 – przekrój, w którym wypływa czynnik z kolana
U 1 = U 2 = U
z 1 = z 2 = 0
π
⋅
d
2
4
⋅
Q
m
Q
=
U
⇒
U
=
2 =
2.12
4
π
⋅
d
s
Z równania Bernoulliego po uproszczeniu otrzymujemy stratę ciśnienia, spowodowaną zmianą
kształtu geometrycznego kolana:
h
=
p
1
−
p
2
=
h
⋅
ρ
⋅
g
=
0.02
m
str
ρ
⋅
g
ρ
⋅
g
którą możemy wyrazić wzorem:
U
2
2
⋅
g
⋅
h
2
⋅
9
81
⋅
0
02
h
ξ= ⇒
ξ
=
str
=
=
0
087
str
2
⋅
g
U
2
2
12
2
Otrzymujemy: ξ = 0.087
Zadanie 5.2 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.3, str. 113)
W poziomym przewodzie o średnicy d = 25 mm zmierzono ciśnienie
w dwóch przekrojach odległych o L = 8 m. Na podstawie różnicy
wysokości ciśnień, która wynosiła h = 770 mmH 2 O, obliczyć
współczynnik strat tarcia λ, jeśli prędkość wody w przewodzie
U = 1.5 m/s.
Dane:
Wyznaczyć:
d = 25 mm
λ
L = 8 m
h = 770 mmH 2 O
U = 1.5 m/s
Rozwiązanie:
71
⋅
712957500.009.png 712957500.010.png 712957500.011.png
U
2
p
U
2
p
0
+
0
+
z
=
1
+
1
+
z
+
h
0
1
str
2g
ρ
⋅
g
2g
ρ
⋅
g
U 0 = U 1 = U
z 0 = z 1 = 0
Z równania Bernoulliego po uproszczeniu otrzymujemy różnicę ciśnień, określającą stratę ciśnienia
na długości przewodu:
h
=
p
0
−
p
1
=
h
⋅
ρ
⋅
g
=
0
77
m
str
ρ
⋅
g
ρ
⋅
g
którą możemy wyrazić wzorem:
L
U
2
2
⋅
g
⋅
h
⋅
d
2
⋅
9
81
⋅
0
77
⋅
0
025
h
=
λ
⋅
⇒
λ
=
str
=
=
0
021
str
d
2
g
L
⋅
U
2
8
⋅
1
2
Otrzymujemy: λ = 0.021
Zadanie 5.3 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.4, str. 114)
Przewodem o średnicy d = 1 cm i długości L = 2 m przepływa
woda z lewego zbiornika do prawego na skutek różnicy
poziomów cieczy w zbiornikach. Jaka może być maksymalna
wysokość H max , aby w przewodzie był przepływ laminarny?
Uwzględnić tylko straty tarcia.
Dane:
Wyznaczyć:
d = 1 cm
H max
L = 2 m
Rozwiązanie:
Dla uproszczenia pomijamy energię kinetyczną przepływającego płynu w przewodzie i zakładamy,
że rozporządzalna wysokość H zostaje w całości zużyta na pokonanie straty tarcia w przewodzie:
L
U
2
h
=
H
=
λ
⋅
str
d
2
g
W przepływie laminarnym współczynnik strat tarcia określamy zależnością:
λ ,
=
64
Re
wtedy:
32
L
U
2
H
=
⋅
Re
d
g
W tym przypadku H max odpowiada prędkości U max dla której liczba Re max wyniesie Re = 2300:
Re
=
d
⋅
U
max
=
2300
max
ν
32
⋅
L
⋅
ν
2
⋅
Re
32
⋅
2
⋅
(
9
.
8
⋅
10
−
7
)
2
⋅
2300
H
=
max
=
max
g
⋅
d
3
9
.
81
⋅
0
.
01
3
Po podstawieniu otrzymujemy: H max = 0.015 m
72
712957500.001.png 712957500.002.png
Zadanie 5.4 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.5, str. 114)
Hartowniczy piec jest opalany olejem opałowym, zużycie którego
wynosi m & = 300 kg/h. Gęstość oraz kinematyczny współczynnik
lepkości oleju wynoszą odpowiednio: ρ r = 880 kg/m 3 i
ν = 0.25 cm 2 /s. Określić ciśnienie oleju w przewodzie przed
rozpylaczem, jeśli zbiornik z olejem opałowym znajduje się na
wysokości H = 8 m nad osią rozpylacza. Długość przewodu
L = 30 m, średnica d = 25 mm.
Dane:
Wyznaczyć:
ρ = 880 kg/m 3
ν = 0.25 cm 2 /s = 0.25 ⋅ 10 -4 m 2 /s
H = 8 m
L = 30 m
d = 25 mm
p
Rozwiązanie:
Strumień objętości wypływającej ropy:
m
0
0833
−
5
m
3
Q
= ρ
=
=
9
46
⋅
10
880
s
Prędkość średnia:
Q
4
⋅
Q
4
⋅
9
46
⋅
10
−
5
m
U
=
=
=
=
0
193
S
π
⋅
d
2
3
14
⋅
0
025
2
s
Liczba Reynoldsa:
Re
=
U
⋅
d
=
0
193
⋅
0
025
=
193
ν
0
25
⋅
10
−
4
Liczba Re wskazuje na przepływ laminarny. Stratę ciśnienia na wskutek tarcia na długości L
obliczamy z prawa Hagena-Poiseuille’a:
π
⋅
∆
p
⋅
d
4
Q
=
128
⋅
µ
⋅
L
128
⋅
Q
⋅
µ
⋅
L
128
⋅
9
.
46
⋅
10
−
5
⋅
0
.
022
⋅
30
∆
p
=
=
=
6509
Pa
π
⋅
d
4
3
.
14
⋅
0
.
025
4
kg
⋅
gdzie dynamiczny współczynnik lepkości
µ
=
ν
⋅
ρ
=
0
25
⋅
10
−
4
⋅
880
=
0
022
m
s
Wysokość ciśnienia przed rozpylaczem:
H o
=
H
−
∆
p
=
8
−
6509
=
7
25
m
słupa oleju opałowego
ρ
⋅
g
880
⋅
9
81
73
m & = 300 kg/h = 0.0833 kg/s
&
712957500.003.png 712957500.004.png
Zadanie 5.5 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.9, str. 115)
Do otwartego zbiornika wypełnionego wodą
podłączony jest przewód o średnicy d = 50 mm i
długości L = 25 m. Obliczyć prędkość wypływu
wody z przewodu, jeśli H = 5 m. Uwzględnić straty
lokalne i tarcia, przyjąć: ξ 1 = 0.5 (strata na wypływie
ze zbiornika), ξ 2 = 4 (strata na zaworze), λ = 0.03.
d = 50 mm
Wyznaczyć:
U
L = 25 m
H = 5 m
ξ 1 = 0.5, ξ 2 = 4
λ = 0.03
Rozwiązanie:
Równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1:
U
2
p
U
2
p
0
+
0
+
z
=
1
+
1
+
z
+
h
0
1
str
2g
ρ
⋅
g
2g
ρ
⋅
g
zakładając: U 0 = 0, p 0 = p 1 = p a , z 0 = H
L
U
2
U
2
U
2
h
=
λ
⋅
1
+
ξ
⋅
1
+
ξ
⋅
1
str
1
2
d
2
g
2
⋅
g
2
g
Podstawiając powyższe zależności do równania Bernoulliego, możemy określić wartość prędkości
w przekroju wylotowym
U
=
2
⋅
g
⋅
H
=
2
⋅
9
81
⋅
5
=
2
18
m
1
1
+
ξ
+
ξ
+
λ
⋅
L
/
d
1
+
0
+
4
+
0
03
⋅
(
25
/
0
05
)
s
1
2
Zadanie 5.6 (poz. bibl. [3], zad. 6.4.11, str. 115)
Woda znajdująca się w górnym zamkniętym
zbiorniku pod ciśnieniem p n = 10000 N/m 2
przepływa do dolnego, otwartego zbiornika.
Określić strumień objętości wody, jeśli H 1 = 10 m,
H 2 = 1 m, H 3 = 2 m, średnica przewodu d = 100 mm,
średnica odstojnika D = 200 mm, współczynnik
straty lokalnej zaworu ξ 5 = 4, promień kolan
R = 100 mm. Straty tarcia w rurociągu pominąć.
Współczynniki strat miejscowych wynoszą: ξ 1 = 0.5,
ξ 2 = 0.29 dla R/d = 1, ξ 3 = [1-( f/F )] 2 = [1−(1/4)] 2 =
0.56, ξ 4 = 0.37 dla f/F = 1/4, ξ 6 = 1.
Dane:
Wyznaczyć:
p n = 10000 N/m 2
Q
H 1 = 10 m, H 2 = 1 m, H 3 = 2 m
74
Dane:
712957500.005.png 712957500.006.png 712957500.007.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin