Bednarek - Mechanika kwantowa, wykład dla studentów fizyKi technicznej 2002-2003.pdf

(1880 KB) Pobierz
87453369 UNPDF
Mechanika kwantowa.
Stanisław Bednarek
Fizyka Techniczna ,semestr zimowy 2002/2003.
I.
1Wst p.
3 Mechanika klasyczna a układy mikroskopowe.
3 Mechanika klasyczna a układy mikroskopowe.
4 Stan układu mikroskopowego.
5 Okre lone i nieokre lone wielko ci fizyczne.
5 Mechanika kwantowa - uwagi wst pne.
5 Funkcja stanu i jej probabilistyczna interpretacja.
6 Zasada superpozycji.
6 Warto
ci własne i funkcje własne wielko
ci fizycznych.
8 Warto
ci
rednie (oczekiwane) wielko
ci fizycznej, operatory.
9 Hermitowskie sprz
enie operatora, operatory hermitowskie.
9 Ortogonalno
funkcji własnych operatora hermitowskiego.
9 Własno
ci przemienno
ci operatorów. Komutatory.
10 Widmo ci
głe operatora.
II.
11 Postulaty mechaniki kwantowej.
12 Przestrze Hilberta.
13 Przykład przestrzeni Hilberta.
14 Reprezentacja poło
eniowa.
15 Kwantowanie.
15 Nawiasy Poissona.
16 Komutatory.
16 Najprostsze zastosowania. Jedna cz
stka w przestrzeni jednowymiarowej.
III.
18 Cz stka swobodna.
20 Degeneracja warto
ci własnych.
20 Liczby kwantowe.
20 Unormowanie funkcji falowych.
21 Operator parzysto
ci.
21 Prostok
tna jama potencjału.
IV.
24 Niesko czenie gł boka studnia potencjału.
25 Pudło periodyczno ci.
26 Oscylator harmoniczny.
26 Przej cie do zmiennych bezwymiarowych.
27 Równanie własne oscylatora harmonicznego.
V.
28 Numeryczne rozwi
zywanie równania własnego.
30 Ci
głe widmo warto
ci własnych. Jednowymiarowe problemy rozproszeniowe.
VI.
33 Czas w mechanice kwantowej.
1
33 Zale ne od czasu równanie Schroedingera.
34 “Spoczywaj cy” pakiet falowy.
35 Pakiet falowy z niezerowym p dem.
38 Uwagi do numerycznych metod rozwi
zywania zale nego od czasu równania
Schroedingera.
VII.
39 Ró ne reprezentacje
39 Ruch cz stki w jednorodnym polu.
40 Reprezentacja p dów.
40 Przej cie z reprezentacji p dowej do poło eniowej.
42 Oscylator harmoniczny w reprezentacji liczb obsadze
.
VIII.
50 Przestrze trójwymiarowa.
50 Metoda separacji zmiennych.
51 Cz stka swobodna w trzech wymiarach.
51 Trójwymiarowy oscylator harmoniczny.
53 Operator momentu p
du.
54 Rzut momentu p
du na wybrany kierunek.
54 Warto
ci własne operatora kwadratu momentu p
du.
56 Funkcje własne operatora kwadratu momentu p
du.
IX.
57 Cz stka w polu potencjału o symetrii sferycznej.
58 Energia kinetyczna cz stki we współrz dnych sferycznych.
59 Cz stka w polu potencjału kulombowskiego. Atom wodoru.
60 Degeneracja poziomów energetycznych a symetria problemu.
61 Spin.
X.
64 Rachunki przybli one
64 Niezale ny od czasu rachunek zaburze dla widma niezdegenerowanego.
66 Warunki stosowalno ci rachunku zaburze .
66 Rachunek zaburze dla blisko poło onych poziomów energetycznych, lub w przypadku
wyst pienia degeneracji.
68 Metoda wariacyjna.
XI.
71 Układy zło one z kilku cz
stek.
cych.
71 Separacja ruchu rodka masy.
73 Układy zło one z jednakowych cz
stek nie oddziaływuj
stek. Nierozró nialno
.
73 Zwi zek symetrii funkcji falowych ze spinem.
74 Podział funkcji falowej na cz
przestrzenn
i spinow
.
74 Atom helu.
XII.
78 Stany wzbudzone układu dwuelektronowego.
78 Operator spinu i jego funkcje własne. Macierze Pauliego.
81 Funkcja falowa elektronu z uwzgl
dnieniem spinu.
2
71 Układ cz
82 Funkcja falowa układu dwóch elektronów.
83 Stany wzbudzone atomu helu. Oddziaływanie wymienne.
XIII.
85 Układy zło one z wielu elektronów. Metoda pola samouzgodnionego.
85 Samouzgodniona metoda Hartree.
87 Metoda Hartree - Focka.
XIV.
92 Relatywistyczna Mechanika Kwantowa.
95 Hamiltonian relatywistyczny.
96 Rozwi zanie równania Diraca dla cz stki swobodnej.
97 Cz stka relatywistyczna w zewn trznym polu magnetycznym.
97 Poprawki relatywistyczne do równania Schroedingera.
3
I.
Wst p.
Mechanika kwantowa jest podstawowym narz dziem fizyka zajmuj
cego si teori
. By
mo e kto spo ród was b dzie si zajmował problemami kwantowo-mechanicznymi. B dzie
wi c musiał pogł bi swoj wiedz . Podczas semestralnego wykładu niesposób nauczy si
wszystkiego co do swobodnego posługiwania si tym narz dziem jest potrzebne. Dlatego nie
mam ambicji “wyczerpania tematu”. Chciałbym, eby cie zaznajomili si z podstawowymi
zało eniami i dobrze je zrozumieli , opanowali kilka podstawowych metod rachunkowych i
uzyskali ogólne, lecz prawidłowe wyobra
enie o mechanice kwantowej. Nie musimy
przerobi
du
o materiału, ale to co przerobimy musimy zrobi
dobrze. Chciałbym, aby
cie
poczuli ducha mechaniki kwantowej . Pytajcie, je
eli czego
nie rozumiecie. Zapami tane
niezrozumiałe formuły o nieokre
lonym znaczeniu i przeznaczeniu s
bezwarto
ciowe. By
mo
e nie na ka
de pytanie udziel od razu odpowiedzi. S
w mechanice kwantowej
problemy, które zaczyna si rozumie
dopiero wtedy, kiedy si przyzwyczai do u
ywanego
formalizmu.
Nasza wyobra nia ukształtowana w yciu codziennym na zjawiskach klasycznych cz sto
zawodzi w zastosowaniu do układów kwantowych. Musicie nauczy
si operowa
nowymi
poj ciami, u
ywa
specyficznego j zyka . Chciałbym ponadto uczuli
słuchaczy na
zrozumienie mojego j zyka. Poniewa
ja w swojej codziennej pracy u
ywam aparatu
mechaniki kwantowej od wielu lat, mog nieprawidłowo ocenia
co jest oczywiste, a co
wymaga wyja
nienia. Je
eli wi c si zdarzy,
e ja uznam co
za spraw oczywist
, a dla was
b dzie niezrozumiała, bardzo prosz aby
cie przerwali moj
wypowied
i
dali wyja
nie
.
Mechanika klasyczna a układy mikroskopowe .
Mechanika klasyczna bazuj
ca na równaniach dynamiki Newtona załamuje si przy próbie
opisu mikro
wiata. W momencie kiedy metody eksperymentalne osi
gn ły mo
liwo
badania układów zło
onych z pojedynczych cz
stek elementarnych pojawiła si potrzeba
stworzenia dla nich całkowicie nowej teorii.
Pierwszym sygnałem nieadekwatno
ci mechaniki i elektrodynamiki klasycznej do opisu
mikro
wiata była nieudana próba opisu atomu wodoru (1913). Wyobra
enie atomu wodoru z
kr
cym wokół j
dra elektronem traktowanym jako cz
stka klasyczna nie doprowadziło do
poprawnego opisu jego poziomów energetycznych.
Dopiero zaproponowany przez Bohra model wodoru, zakładaj
cy ograniczenie stosowalno
ci
praw klasycznych pozwolił wytłumaczy
pewne własno
ci mikroukładów, w szczególno
ci
widmo absorbcji i emisji
wiatła przez atomy.
Innym bezpo
rednim dowodem niestosowalno
ci fizyki klasycznej do układów
mikroskopowych jest do
wiadczenie z interferencj
elektronów (1928) na układzie szczelin.
Eksperyment ten pokazuje,
e elektrony nie mog
by
traktowane jak czysto klasyczne
cz
stki, gdy
w pewnych warunkach wykazuj
charakter falowy. Wykazanie falowych
własno
ci cz
stek dotychczas uwa
anych jako korpuskularne okre
liło kierunek poszukiwa
i
doprowadziło do powstania mechaniki kwantowej - teorii opisuj
cej układy mikroskopowe.
Podobne załamanie teorii klasycznej omawiali
my w roku ubiegłym przechodz
c do
mechaniki relatywistycznej . Klasyczne traktowanie obiektów poruszaj
cych si z du
ymi
pr dko
ciami doprowadziło do sprzecznych z do
wiadczeniem wyników. Musieli
my
uogólni
teori i uzyskali
my nieco inne prawa, które w granicy małych pr dko
ci przechodz
w prawa klasyczne. Jednak e sama konstrukcja teorii relatywistycznej jej filozofia i metody
rachunkowe nie uległy zmianie. Wprowadzili
my tylko inne wyra
enia opisuj
ce wielko
ci
4
fizyczne i inne równania ruchu. Tamt zmian
teorii mo
na by nazwa
drobnym zabiegiem
kosmetycznym w porównaniu z tym co nas teraz czeka.
Mechanika kwantowa operuje zasadniczo ró
nym aparatem matematycznym i jest poj
ciowo
ró
na od klasycznej.
Stan układu mikroskopowego.
W mechanice klasycznej stan układu mógł by opisany przez podanie poło e i pr dko ci
wszystkich jego elementów w danej chwili. Ewolucja czasowa układu była jednoznacznie
okre lona (z wyj tkiem układów niestabilnych, które pomimo determinizmu wykazuj
zachowania chaotyczne), mo
na było przewidzie
lub obserwowa
trajektorie wszystkich ciał
(cz stek).
·
W układach mikroskopowych próba wyznaczenia trajektorii cz stki zako czy si
niepowodzeniem. Ma to zwi zek z zasadnicz ró nic pomi dzy obserwacj układów
makro i mikroskopowych. W tym drugim przypadku akt pomiaru zaburza naogół stan
układu. Zilustrujmy to przykładem. Poruszaj ce si w przestrzeni ciało makroskopowe
mo emy np. obserwowa o wietlaj c je wiatłem i odbieraj c rozproszone czy odbite od
przedmiotu fotony. Pomiaru mo emy dokona w dowolnie krótkich odst pach czasu. Nie
zmienia on trajektorii ciała makroskopowego, gdy przekazywane obserwowanemu
przedmiotowi energia i p d s zaniedbywalnie małe. Podobna metoda zastosowana do
obserwacji elektronu powoduje zaburzenie jego stanu. Im dokładniej chcemy okre
li
poło
enie elektronu tym krótszej fali
wietlnej musimy u
y
. Oznacza to konieczno
u
ycia wy
ej energetycznego fotonu i wi
ksze zaburzenie energii i p
du badanego obiektu.
Okazuje si
,
e nie wszystkie wielko
ci fizyczne s mierzalne jednocze
nie. Im dokładniejszy
jest pomiar poło
enia tym mniej dokładny jest pomiar p
du (pr
dko
ci) cz stki. Jest to
własno
znana jako relacja nieoznaczono ci Heisenberga.
ustalenia trajektorii cz stek tworz cych układ zmusza nas do całkowitej
zmiany sposobu opisu układów.
liwo
·
Innym problemem z którym musimy si
pogodzi
jest niejednoznaczno
wyników
pomiarowych. W układzie klasycznym ró
ne wyniki otrzymywali
my dokonuj c w
ró
nych chwilach pomiaru wielko
ci fizycznej, która nie była zachowywana. Jednak
e dla
dowolnego czasu mogli my przewidzie chwilowe jej warto ci i wyniki pomiarów
wykonywanych w krótkich odst pach czasowych były zbie ne.
W układach mikroskopowych podczas kilku pomiarów tej samej wielko
ci fizycznej
wykonanych w dowolnie krótkich odst
pach czasu mo
emy uzyska
całkowicie ró
ne
wyniki. Jednak
e pod pozornym bałaganem ukrywaj si
pewne prawidłowo
ci. Je
eli
wykonamy seri
pomiarów, oka
e si
e dany wynik pomiarowy pojawia si
z
okre lonym prawdopodobie
stwem . Jednocze
nie (w odró
nieniu od klasycznego
chaosu deterministycznego) pojawienie si
okre
lonego wyniku jest zupełnie przypadkowe
i mo
e by
traktowane jako zmienna losowa.
Okre lone i nieokre lone wielko ci fizyczne.
·
W pewnych szczególnych stanach prawdopodobie
stwo uzyskania tego samego wyniku
jest równe 1. Wówczas mówimy,
e dana wielko
fizyczna jest w tym stanie okre
lona.
·
W stanach w których prawdopodobie
stwo jest mniejsze od 1 wielko
fizyczna nie jest
okre
lona.
5
Niemo

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin