wyklad02.pdf
(
210 KB
)
Pobierz
Microsoft PowerPoint - wyklad02.ppt [Read-Only]
Modelowanie
Modelowanie – doświadczalna lub matematyczna metoda badań złożonych układów, zjawisk i
procesów na podstawie konstruowania modeli.
Modelowanie doświadczalne opiera się na podobieństwie fizycznym, gdy badania przeprowadza
się przy użyciu układów podobnych, ale w innej skali, lub na analogach fizycznych, gdy badania
przeprowadza się przy użyciu układów innych, ale rządzonych przez podobne prawa.
Modelowanie matematyczne polega na tworzeniu modeli matematycznych i wykorzystaniu
aparatu matematycznego do ich analizy.
Tworzenie modelu na drodze teoretycznej
Konieczna jest znajomość działania systemu. Model konstruowany jest w oparciu o prawa
fizyczne rządzące zjawiskami zachodzącymi w układzie (np. w mechanice: zasada pędu, zasada
zachowania energii; w elektrotechnice: równania pól elektromagnetycznych, równania obwodów
prądowych itp.).
Tworzenie modelu na drodze eksperymentalnej (identyfikacja)
Opiera się na obserwacjach i pomiarach modelowanego systemu. Na drodze eksperymentalnej
określa się wartości charakterystyczne, które opisują system, a następnie znajduje odpowiednik w
innym wcześniej poznanym układzie. Zazwyczaj otrzymywany jest model matematyczny, który
opisuje zależności pomiędzy wejściem i wyjściem układu, bez znajomości przyczyny
występowania tych zależności.
"
Automatyzacja i robotyzacja procesw produkcyjnych f.2/1
Iloraz różnicowy
Dana jest funkcja f zmiennej x określona na przedziale [a, b] oraz x
0
, x
1
∈ [a, b], x
1
= x
0
+ h.
f
f (x
1
)
∆f = f (x
1
) − f (x
0
)
f (x
0
)
x
0
x
1
x
∆x = x
1
− x
0
Różnica x
1
− x
0
nazywana jest przyrostem argumentu od x
0
do x
1
.
Przyrostem wartości funkcji dla przyrostu argumentu od x
0
do x
1
jest różnica f (x
1
) − f (x
0
).
Iloraz różnicowy funkcji f odpowiadający przyrostowi argumentu od x
0
do x
1
jest definiowany
jako:
f
( ) ( )
x
1
−
f
x
0
lub inaczej jako:
f
( ) ( )
h
0
+
h
−
f
x
x
−
x
1
0
"
Automatyzacja i robotyzacja procesw produkcyjnych f.2/2
x
0
Iloraz różnicowy
Interpretacja geometryczna
f
B
f (x
1
)
∆f
f (x
0
)
A
α
x
x
0
x
1
∆x
Iloraz różnicowy jest równy tangensowi kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty
wykresu funkcji A i B,
∆f
=
tg
α
∆x
Iloraz różnicowy odpowiada średniemu przyrostowi wartości funkcji f na wybranym przedziale.
Interpretacja fizyczna
Procesy fizyczne są zazwyczaj opisywane za pomocą funkcji czasu, w związku z tym iloraz
różnicowy wyraża średnie tempo zmian tych procesów w określonych przedziałach czasu.
"
Automatyzacja i robotyzacja procesw produkcyjnych f.2/3
Iloraz różnicowy - przykłady
Przykład 1. Ruch ciała można opisać jako zmianę drogi s w czasie t, w tym przypadku iloraz
różnicowy wyraża przyrost drogi w pewnym przedziale czasu (∆s/∆t), czyli prędkość średnią.
8
s [m]
v
śr
=
∆s
=
s
( ) ( )
t
1
−
s
t
0
6
od 0 [s] do 5 [s] v
śr
= 2/5 [m/s]
od 5 [s] do 8 [s] v
śr
= 4/3 [m/s]
od 8 [s] do 13 [s] v
śr
= 2/5 [m/s]
∆t
t
−
t
1
0
2
t [s]
0
5 8
13
Przekład 2. Iloraz różnicowy prędkości v(t) wyznacza średnie przyspieszenie ciała w podanym
przedziale czasu.
a
śr
=
∆v
=
v
( ) ( )
t
1
−
v
t
0
∆t
t
−
t
1
0
Przykład 3. Dla cieczy przepływającej przez dany przekrój, iloraz różnicowy ilości cieczy
(objętości lub masy) wyznacza średnie (objętościowe lub masowe) natężenie przepływu.
q
śr
=
∆V
=
V
( ) ( )
t
1
−
V
t
0
G
śr
=
∆m
=
m
( ) ( )
t
1
−
m
t
0
∆t
t
−
t
∆t
t
−
t
1
0
1
0
"
Automatyzacja i robotyzacja procesw produkcyjnych f.2/4
Pochodna
Pochodna funkcji f w punkcie x
0
(f '(x
0
)) jest to granica do której dąży iloraz różnicowy, gdy
przyrost argumentu dąży do zera (o ile ta granica istnieje):
f
′
( )
x
=
lim
f
( ) ( )
h
+
h
−
f
x
0
h
→
0
Stosowane są również oznaczenia:
df
( )
dx
x
df
dx
Interpretacja geometryczna
f
Pochodna funkcji w punkcie x
0
jest równa tangensowi kąta nachylenia
stycznej do wykresu w punkcie x
0
:
f '(x
0
) = tgα.
α
x
0
x
1
x
2
x
Interpretacja fizyczna
Pochodna funkcji w punkcie określa wartości chwilowe zmiany procesów fizycznych.
"
Automatyzacja i robotyzacja procesw produkcyjnych f.2/5
x
0
0
Plik z chomika:
Orzeszek_T
Inne pliki z tego folderu:
Wyklad01.pdf
(1793 KB)
wyklad02.pdf
(210 KB)
wyklad03.pdf
(349 KB)
wyklad06.pdf
(347 KB)
wyklad07.pdf
(336 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin