LABORKIcw054.pdf

Ćwiczenie 54

E. Sienkiewicz

BADANIE ZJAWISKA REZONANSU

ELEKTROMAGNETYCZNEGO

Cel ćwiczenia: wyznaczenie częstotliwości rezonansowych i współczyn-ników dobroci

obwodów elektrycznych dla różnych wartości oporów i pojemności, obserwacja na oscyloskopie

przesunięć fazowych między prądem i napięciem oraz wykreślenie krzywych przesunięcia

fazowego, wyznaczenie indukcyjności cewki metodą rezonansu.

Zagadnienia: prąd przemienny, wartość chwilowa i skuteczna natężenia prądu i napięcia,

przesunięcie fazowe prądu względem napięcia, rezonans napięć, rezonans prądów, częstotliwość

rezonansowa, dobroć układu.

54.1. Wprowadzenie

Prądem przemiennym nazywamy prąd o okresowo zmieniającym się w czasie natężeniu i

kierunku prądu. W praktyce najczęściej stosuje się prąd o wartościach natężenia i napięcia

zmieniających się sinusoidalnie w czasie.

Jeżeli w obwodzie ze źródłem napięcia przemiennego zmieniającego się w czasie według

wzoru uU

0 sin ω występuje tylko opornik o oporze czynnym R (rezystancji), to natężenie

prądu w obwodzie zmienia się według i

= sin ω , gdzie I

R =

. Wielkości u i i R oznaczają

wartości chwilowe napięcia i natężenia, , – amplitudy (wartości szczytowe), ω –

częstość kołową (pulsację) powiązaną z częstotliwością f wzorem

U 0

I 0

= 2 f .

Jeżeli obwód zawiera jedynie źródło napięcia zmiennego i kondensator o pojemności C , to

ω π

natężenie prądu płynącego w obwodzie zmienia się według równania i

sin ω









, gdzie

C = ω 0 . Oznacza to, że prąd wyprzedza w fazie napięcie o π /2. Jeżeli natomiast elementem

obwodu prądu zmiennego będzie cewka o indukcyjności L , to w obwodzie płynie prąd przemienny

sin ω t





2 − , co wskazuje na opóźnienie o π /2 prądu względem napięcia, a amplituda



L =

126

ω .

Wyżej wymienione zależności są słuszne dla obwodów, przez które przepływają prądy niskiej

częstotliwości. Wtedy elementy R, L, C można traktować

jako idealne, tzn. takie, które mają wyłącznie opór czynny

R , opór indukcyjny (reaktancję indukcyjną) X

L = ω i

opór pojemnościowy (reaktancję pojemnościową)

ω .

Rozważmy obecnie obwód szeregowy, złożony z

rezystora o oporze R , cewki indukcyjnej o indukcyjności L

i kondensatora o pojemności C (rys. 54.1), do którego

przyłożono napięcie przemienne uU

C = 1

Rys. 54.1. Szeregowy obwód RLC

0 sinω . Opór R jest sumą oporu cewki indukcyjnej RL i

oporu czynnego opornika.

Wykorzystując II prawo Kirch-hoffa dla obwodu szeregowego

uuu

+=+ε ,

gdzie:

0 sinω ,

C =

∫

ε L

=− d

po przekształceniach otrzymamy równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest funkcja

( )

i I

0 sin ωϕ

Amplituda natężenia prądu zmiennego jest związana z amplitudą napięcia zależnością

(54.1)





+ −





W ćwiczeniu 53 wzór ten został wyprowadzony za pomocą diagramu wektorowego. Kąt ϕ jest

przesunięciem fazowym między natężeniem prądu i przyłożonym napięciem, dla którego

−

tgϕ

(54.2)

127

Wzór (54.1) jest analogiczny do zależności wyrażającej prawo Ohma dla obwodu prądu stałego i

wyraża prawo Ohma dla prądu zmiennego. Mianownik nosi nazwę zawady (impedancji) obwodu

prądu zmiennego.

Na rysunkach 54.2 i 54.3 przedstawiono zależności od częstości ω amplitudy natężenia

prądu (tzw. krzywe rezonansowe) i przesunięcia fazowego ϕ między prądem i napięciem dla

różnych oporów R i ustalonych L, C i U .

I 0

Przymałych częstościach ω opór bierny pojemnościowy

X C

jest znacznie większy od oporu

biernego indukcyjnego

X L

. Przy większych częstościach ω przeważa opór indukcyjny

X L

. W

obwodzie istnieje taki stan, że przy częstości źródła napięcia

ω==

(54.3)

opór pojemnościowy i indukcyjny będą sobie równe ( XX

= ). Wtedy, zgodnie ze wzorem

(54.1), amplituda natężenia prądu w obwodzie osiąga maksimum

I 0

r = =

, a zawada

max

układu – minimum. Kąt przesunięcia fazowego ϕ jest wówczas równy zeru.

Rys. 54.2. Zależność amplitudy natężenia prądu

od częstości w obwodzie szeregowym

Rys. 54.3. Zależność przesunięcia fazowego od

częstości w obwodzie szeregowym

Oznacza to, że prąd jest zgodny w fazie z napięciem. Zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy

natężenia prądu w obwodzie przy zbliżaniu częstości ω do wartości ω r – nosi nazwę rezonansu

elektromagnetycznego szeregowego, a częstość ω r nazwę częstości rezonansowej. Ważną

właściwością rezonansu elektromagnetycznego jest niezależność częstości rezonansowej ω r od

wartości współczynnika tłumienia β= R

, a więc od oporu czynnego R . Wartość R wpływa

jedynie na wartość amplitudy rezonansowej. Jak widać na rys. 54.2, im mniejsza jest wartość

oporu R , tym większa jest wartość amplitudy .

I 0

128

Omówione zjawisko rezonansu dla obwodu szeregowego RLC nosi nazwę rezonansu napięć,

ponieważ przy częstości rezonansowej amplitudy napięć na cewce i kondensatorze mają

jednakowe wartości ( U ), a ich fazy są przeciwne – napięcie wyprzedza w fazie U

o kąt π . Całkowity spadek napięcia w obwodzie równa się wówczas spadkowi napięcia na oporze

czynnym ( U ). Opór R stanowi jedyną przeszkodę dla przepływu prądu. Napięcia na cewce

i na kondensatorze są tyle razy większe od napięcia zasilającego, ile razy większy jest opór

indukcyjny cewki lub opór pojemnościowy kondensatora od oporu opornika.

L =

U L

0 =

U R

Ze stratami energii w obwodzie RLC jest związane pojęcie dobroci układu drgającego.

Współczynnik dobroci określany jest następująco:

= 2π ∆ ,

(54.4)

gdzie E jest energią zmagazynowaną w obwodzie RLC (energia naładowanego kondensatora i

energia pola magnetycznego cewki), a ∆ E jest energią rozproszoną na oporniku R w postaci ciepła

w ciągu jednego pełnego okresu

T r

= 2π

ω .

Korzystając ze wzoru (54.4) można pokazać, że dobroć

= =

(54.5)

Wartość dobroci jest odwrotnie proporcjonalna do oporu R i w zasadniczy sposób wpływa na

ostrość krzywej rezonansowej. Wyrazić to można również (patrz rys. 54.2). zależnością

= ω

∆ω

Najwygodniej jest wyznaczyć wartość współczynnika dobroci obwodu przez pomiar napięcia

skutecznego U sk , występującego na kondensatorze, bądź cewce podczas rezonansu przy

znajomości wartości skutecznej napięcia przemiennego U

I r

doprowadzonego do zacisków

obwodu. Zgodnie ze wzorem (54.5)

. Q

= =

Csk

Lsk

(54.6)

129

gdzie ∆ω jest szerokością krzywej rezonansowej na poziomie I

54.2. Rezonans napięć w szeregowym układzie RLC

54.2.1. Metoda pomiarowa

W skład układu pomiarowego wchodzą: generator mocy, badany szeregowy obwód RLC ,

miliamperomierz prądu zmiennego, woltomierz ele ktroniczny, oscyloskop dwukanałowy.

Schemat układu pomiarowego

umożliwiającego zmierzenie krzywych

rezonansowych przedstawiono na rys. 54.7.

Generator mocy G wytwarza napięcie

sinusoidalne zmienne o częstotliwościach

regulowanych w sposób ciągły i skokowy w

zakresie 20 Hz – 20 kHz. Wartość napięcia

wyjściowego może być wyznaczona za pomocą

wbudowanego woltomierza V .

Parametry badanego obwodu RLC można

Rys. 54.7. Schemat układu pomiarowego dla

rezonansu napięć

zmieniać skokowo przez zmianę pojemności

kondensatora (

CC C

, ,

) oraz rezystancji

opornika (

, ,

). Indukcyjność cewki

indukcyjnej jest stała.

Do pomiarów natężenia prądu w

badanym obwodzie RLC służy

miliamperomierz prądu zmiennego, natomiast

napięcie na kondensatorze U mierzy się

woltomierzem elektronicznym.

Za pomocą oscyloskopu dwustrumieniowego O można zaobserwować równocześnie dwie

zależności od czasu – prądową i napięciową (podstawa czasu włączona). Zgodnie z rys. 54.8, do

płytek odchylania pionowego Y należy podłączyć bezpośrednio źródło napięcia uU

I 0

Rys. 54.6. Zależność przesunięcia fazowego

od częstości w obwodzie równoległym

= 0 sinω , a

do płytek odchylania poziomego X przykładamy napięcie z opornika R . Napięcie to jest wprost

proporcjonalne do natężenia prądu ( )

+ płynącego w obwodzie szerego-wym i jest

zgodne z nim w fazie. Sinusoida prądowa jest przesunięta w stosunku do sinusoidy napięciowej.

Zmieniając częstość napięcia ω można zaobserwować dla częstości rezonansowej ω r pokrycie się

obu przebiegów (przesunięcie fazowe ϕ = 0 ). Dla częstości mniejszych od ω r natężenie prądu

wyprzedza napięcie, a dla częstości większych od ω r napięcie wyprzedza natężenie prądu. Przy

i I

0 sin ωϕ

130

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: