drugi6.pdf

Całka Riemanna

Zad 1. Oblicz wartosc całki bezposrednio z deﬁnicji:

Z 1

cdx; b)

x 2 dx; c)

sinxdx;

Z 2

Z 1

Z 2

Z 1

x ; f)

x ; g)

lnxdx; e)

e x dx:

Wskazówka: zastosuj podział nan–równych czesci lub f1;2 1=n ;:::;2 (n1)=n ;2g.

Zad 2. Oblicz całki:

Z 2

4 p (3x) 5 ; b)

Z 1

xdx

(1+x 2 ) 2 ; c)

Z e

1+lnx

x dx;

Z 16

p x+9 p x ; e)

Z b

' 0 (x)' 00 (x)dx;'(a)=b;'(b)=a:

Zad 3. Zakładaj ac, ze predkosc pojazdu wyraza sie wzorem

v(t)=75:5arctg p t km

h , oblicz czas przejazdu oraz maksymaln a predkosc na

trasie Gliwice – Hel.

Zad 4. Udowodnic, ze jezelif(n)=

tg n xdx,n2 N , to prawdziwe s a

nierównosci:

a)f(n+1)<f(n),n2 N nf1g;

b)f(n)+f(n2)=(n1) 1 ,n2 N nf1;2g;

c)(n+1) 1 <2f(n)<(n1) 1 ,n2 N nf1;2g.

Zad 5. Wykaz, ze jezeli funkcjafjest ci agła na przedziale[a;b]oraz

Z d

f(x)dx>0

dla kazdego przedziału[c;d][a;b],c6=d, tof(x)0dlax2[a;b]i zbiór

miejsc zerowych nie jest gesty w zadnym z przedziałów[c;d].