rownanie.pdf

Równaniestruny

Dobra Cieciu to b¦dzie tak: równanie u xx = a 2 u tt

Zakładamy, »e mamy strun¦ o długo±ci x 0 rozpi¦t¡ wzdłó» osi x od punktu

0 do x 0 . Nasza szukana funkcja u ( x,t ) oznacza wychylenie punktu stru ny o

współrz¦dnej x w chwili t . Ten współczynnik a to tak naprawd¦ a =

q m P

gdzie P jest nat¦»eniem struny a m mas¡ przypadaj¡c¡ na jednostk¦

długo±ci. Przy wyprowadzaniu tego równania zakłada si¦, »e ta struna jest

doskonale gi¦tka i, »e wahania nie zmieniaj¡ napr¦»enia. Dobra to tyle

wst¦pu teraz zadanie:

Zakładamy, »e w chwili t = 0 struna pokrywa si¦ z osi¡ x i, »e cz¡steczki

jej nie maj¡ »adnej pr¦dko±ci, wi¦c tak naprawd¦ zakładamy, »e:

u ( x, 0) = 0 to oznacza, »e w chwili t = 0 struna pokrywa si¦ z osi¡,

u t ( x, 0) = 0 to, »e cz¡steczki nie maj¡ pr¦dko±ci (pr¦dko±¢ to pochodna po

czasie w ﬁzyce). I to mamy dla

0 ¬ x ¬ x 0

Zakładamy dalej, »e pocz¡tek struny porusza si¦ w kierunku prostopadłym

do osi x i ruch ten jest okre±lony funkcj¡ v ( t ), oraz, »e koniec struny jest

umocowany nieruchomo w punkcie o współrz¦dnej x 0 (zrobi¦ Ci rysunek,

ale nie chce mi si¦ go tu wkleja¢), to oznacza znowu, »e:

u (0 ,t ) = v ( t ) u ( x 0 ,t ) = 0 0 ¬ t ¬1 .

B¦d¦ u»ywał operatora ró»niczkowego s (dla dowolnej funkcji ci¡głej f(x)

mamy sf ( x ) = f 0 ( x ) + f (0) a s 2 f ( x ) = f 00 ( x ) + f 0 (0) + sf (0) czyli to

branie pochodnej i sumowanie z warto±ci¡ w zerze, powinno to by¢ bo to

popularny sposób rozwi¡zywania równa«).

No to jak mamy te nasze warunki to równanie mo»emy zapisa¢ jako

u 00 ( x ) = a 2 s 2 u ( x ) gdzie u ( x ) = u ( x,t ). No i wtakim razie nasze warunki

maj¡ teraz posta¢:

u (0) = v u ( x ) = 0 gdzie v = v ( t ).

Szukamy najpierw funkcji wykładniczych postaci e xw spełniaj¡cych nasz

równanie operatorowe, czyli takie, »e:

( e xw ) 00 = a 2 s 2 e xw . Ró»niczkujemy lew¡ stron¦ i mamy:

w 2 e xw = a 2 s 2 e xw . Dzielimy sobie przez e xw (mo»emy bo funkcja

wykładnicza jest ró»na od zera wsz¦dzie):

w 2 = a 2 s 2 . Czyli w = − as lub w = as . Istniej¡ wi¦c tylko dwie funkcje

wykładnicze spełniaj¡ce nasze równanie i s¡ to e − axs oraz e axs .

A skoro tak to nasze równanie b¦dzie spełnia¢ u ( x ) = c 1 e − axs + c 2 e axs .

Gdzie c 1 i c 2 to dowolne operatory (funkcje). Trzeba je jeszcze wyliczy¢

tak, »eby były spełnione warunki pocz¡tkowe:

u (0) = c 1 + c 2 = v

u ( x ) = c 1 e − ax 0 s + c 2 e ax 0 s = 0. Jak rozwi¡»emy ten układ równa« to mamy:

c 1 = v

ostatecznie:

u ( x ) = ( e − axs − e − a (2 x 0 − x ) s ) v

1 − e − 2 ax 0 s dla 0 ¬ x ¬ x 0 .

1 − e − 2 ax 0 s i c 2 = − e − 2 ax 0 s v

1 − e − 2 ax 0 s . I jak wstawimy do rozwi¡zania to jest

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: