WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH

Seminarium semestr zimowy 2000/2001

Prowadzący: dr inż. Wojciech Krzysztofik

Michał Zubrzycki (95466)

Zadanie Z4/1

1.      Treść zadania

Wykazać czy celowe jest stosowanie kompresji o charakterze typu m (m = 2) dla sygnału losowego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa p(x).

2.      Wstęp teoretyczny.

W systemie PCM sygnał modulujący podlega dyskretyzacji i kwantowaniu. Tym samym rezygnuje się z wiernego odtworzenia sygnału nadanego po stronie odbiorczej.

Różnica między sygnałem modującym a jego przybliżeniem powstałym w procesie kwantowania to szum kwantyzacji.

Istnieją dwie metody kwantowania: równomierna i nierównomierna. Przy kwantowaniu równomiernym, przedziały kwantowania są rozmieszczone równomiernie, mają taką samą szerokość. Natomiast w kwantowaniu nierównomiernym szerokości przedziałów kwantowania są zróżnicowane. Wynika to z tego, że w wielu sygnałach (np. sygnale mowy), małe poziomy występują znacznie częściej niż duże, czyli te poziomy, które występują częściej, kwantuje się gęściej, a które występują rzadziej, mają szersze przedziały kwantowania.

Taki nierównomierne kwantowania przynosi korzyści ze względu na poprawę wielkości szumu kwantyzacji, przy tym kwantowaniu (i dla odpowiedniego sygnału) ulega on zmniejszeniu.

Wzór określający kwadrat całkowitego błędu kwantyzacji przy równomiernej kwantyzacji:

,

gdzie - szerokość przedziału kwantowania

Wzór określający kwadrat całkowitego błędu kwantyzacji przy nierównomiernej kwantyzacji:

,

gdzie p(x) – rozkład gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia danego poziomu sygnału,

y – charakterystyka kompresji,

- odwrotność krzywizny kompresji, określająca przedziały kwantowania

3.     
Rozwiązanie.

Dla m = 2 równanie krzywizny kompresji:

Pochodna po x:

Przekształcenie do postaci aby otrzymać odwrotność krzywizny kompresji, czyli określenie przedziałów kwantowania:

Podstawiając do wzoru na kwadrat całkowitego błędu kwantyzacji otrzymujemy:

Obliczenia podcałkowe:

Po scałkowaniu:

i podstawieniu wartości:

otrzymuję:

W przypadku równomiernego kwantowania:

Więc stosunek tych dwóch wielkości daje:

Wynika z tego, że stosowanie kompresji typu m jest celowe.

4.      Wnioski

Jak widać dla tego sygnału losowego o rozkładzie gęstości prawdopodobieństwa p(x) stosowanie kompresji typu m jest celowe, gdyż kwadrat całkowitego błędu kwantyzacji zmalał prawie o połowę w stosunku do kwantyzacji równomiernej.

4