Pochodna_troch_teorii_zadania.pdf

(262 KB) Pobierz
Microsoft Word - Æwiczenia.doc
III. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.
3.1 Pochodna funkcji w punkcie.
Jeśli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0 i istnieje skończona
( ) ( )
x
granica
lim
f
x
0
+
∆
x
−
f
x
0
, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji y = f(x) w
∆
x
→
0
∆
punkcie x 0 i oznaczamy symbolem f ‘(x 0 ).
Interpretacja geometryczna.
tg
α
f
'
()
x
=
lim
f
( ) ( )
x
0
+
∆
x
−
f
x
0
dla dowolnego punktu x 0 = x (w którym funkcja f(x)
0
∆
∆
x
→
0
( ) ( )
x
jest różniczkowalna), możemy zapisać:
tg
α
=
f
'
()
=
lim
f
x
+
∆
x
−
f
x
∆
∆ 0
→
3.2 Na podstawie definicji wyznaczyć pochodne nst. funkcji:
14
x
=
x
x
285041139.009.png
f
()
x
=
sin
x
pomoc
do
rozw
.
:
sin
α
−
sin
β
=
2
cos
+
α
β
sin
−
α
β
2
2
2
cos
+
x
+
∆
x
x
sin
−
x
+
∆
x
x
( ) ( ) ( ) ( )
f
x
+
∆
x
−
f
x
sin
x
+
∆
x
−
sin
x
2
2
()
f
'
x
=
lim
=
lim
=
lim
=
∆
x
→
0
∆
x
∆
x
→
0
∆
x
∆
x
→
0
∆
x
2
cos
∆
x
+
x
sin
∆
x
sin
∆
x
sin
∆
x
2
2
∆
x
2
∆
x
2
=
lim
=
lim
2
cos
x
+
=
lim
cos
x
+
=
cos
x
∆
x
2
∆
x
2
∆
x
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆
x
→
0
2
f
()
x
=
x
f
'
()
x
=
lim
f
( ) ( )
x
+
∆
x
−
f
x
=
lim
x
+
∆
x
−
x
=
lim
1
=
1
∆
x
∆
x
x
+
∆
x
+
x
2
x
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆
x
→
0
()
−
a
x
1
f
x
=
a
x
pomoc
do
rozw
.
:
lim
=
ln
a
x
x
→
0
()
f
( ) ( )
x
+
∆
x
−
f
x
a
x
+
∆
x
−
a
x
a
∆
x
−
1
f
'
x
=
lim
=
lim
=
lim
a
x
=
a
x
ln
a
∆
x
→
0
∆
x
∆
x
→
0
∆
x
∆
x
→
0
∆
x
f
()
x
=
2
x
3
−
5
x
+
1
odp
.
:
f
'
()
x
=
6
x
2
−
5
f
()
x
=
3
x
5
−
2
odp
.
:
f
'
()
x
=
15
x
4
f
()
x
=
1
;
x
≠
0
odp
.
:
f
'
()
x
=
−
1
x
x
2
f
()
x
=
cos
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
−
sin
x
f
()
x
=
tgx
odp
.
:
f
'
()
x
=
1
gdzie
x
≠
π
+
k
π
;
k
∈
C
cos
2
x
2
f
()
x
=
ctgx
odp
.
:
f
'
()
x
=
−
1
gdzie
x
≠
k
π
;
k
∈
C
sin
2
x
f
()
x
=
3
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
1
gdzie
x
≠
0
32
3
x
f
()
x
=
2
x
+
3
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
2
+
3
gdzie
x
>
0
2
x
f
()
x
=
3
x
−
3
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
1
−
3
gdzie
x
≠
0
3
3
x
2
3.3 Własności pochodnych.
[ ] () ()
() ()
f
() ()
x
±
g
x
'
=
f
x
'
±
g
x
'
[ ] () () () ()
()
()
f
x
∗
g
x
'
=
f
x
'
∗
g
x
+
f
x
∗
g
x
'
f
x
'
f
() () () ()
()
x
'
∗
g
x
−
f
x
∗
g
x
'
=
[ ] 2
g
x
g
x
15
285041139.010.png 285041139.011.png 285041139.012.png 285041139.001.png 285041139.002.png 285041139.003.png
3.4 Pochodna funkcji odwrotnej.
( ) ()
f
−
1
'
y
=
1
∪
( ) ()
f
−
1
'
x
=
1
()
( '
f
x
'
f
y
Wyznaczyć pochodną funkcji
y
log= , dla
a
x
x
∈ R
+
Funkcją odwrotną jest funkcja:
x = , gdzie
a
y
y ∈ , zatem:
R
( )
log
x = ;
'
1
korzystając
ze
wzoru:
( )
a
y
'
= ,
a
y
ln
a
otrzymujemy:
( '
a
y
a
( )
log
x
'
=
1
=
1
=
1
, dla
x
∈ R
()
a
y
'
a
y
ln
a
x
ln
a
+
a
3.5 Pochodna funkcji złożonej.
(( [ ] ( ( ) ( )
f
g
x
'
=
f
'
g
x
∗
g
'
x
;
gdzie (( )
jest tzw. funkcją zewnętrzną, a ( )
f
g
x
g funkcją wewnętrzną funkcji złożonej
( )
( )
dx
Pochodną funkcji oznaczamy często symbolem:
df
x
lub
dy
x
, albo w skrócie
dx
df
dy
odpowiednio:
lub
, wówczas wzór na pochodną funkcji złożonej ( ( )
f
g
x
dx
dx
przyjmuje bardziej zrozumiałą postać; wystarczy dokonać podstawienia za funkcję
wewnętrzną () z
g = , a otrzymamy:
df
=
df
∗
dz
dx
dz
dx
Przykłady:
()
()
f
x
=
5
2
x
2
+
3
g
x
=
2
x
2
+
3
=
z
()
1
f
z
=
z
5
df
df
dz
1
−
4
1
4
x
=
∗
=
z
5
∗
4
x
=
∗
4
x
=
dx
dz
dx
5
5
( )
5
z
4
4
5
5
2
x
2
+
3
f
() ( )
() ( )
()
x
=
5
ln
x
2
+
1
g
x
=
ln
x
2
+
1
=
z
f
z
=
5
z
należy zauważyć, że funkcja wewnętrzna g(x) jest również funkcją złożoną z funkcji:
() u
x
= 1
x
2
=
oraz funkcji zewnętrznej ( ) u
g
u
ln= , zatem jej pochodna
1
dz
=
dg
∗
du
=
1
∗
2
x
=
2
x
, zatem
df
=
df
∗
dz
=
5
z
ln
5
∗
2
x
=
5
ln
( )
2
+
1
ln
5
∗
2
x
dx
du
dx
u
x
2 +
1
dx
dz
dx
x
2
+
1
x
2
+
1
wzory pochodnych funkcji złożonych z trzech lub czterech funkcji:
16
g
x
285041139.004.png 285041139.005.png 285041139.006.png
df
=
df
*
dz
*
du
dx
dz
du
dx
df
=
df
*
dz
*
du
*
dv
dx
dz
du
dv
dx
f
() ( ) ()
()
x
=
3
x
2
+
5
7
odp
.
:
f
'
x
=
126
x
3
+
210
x
f
x
=
72
x
+
5
odp
.
:
f
'
()
x
=
2
x
( )
() () ( )
() ( ) () ( ) ( )
6
7
7
x
2
+
5
f
x
=
3
x
2
+
x
+
2
odp
.
:
f
'
x
=
3
x
2
+
x
+
2
ln
3
*
2
x
+
1
f
x
=
sin
3
2
x
5
−
1
odp
.
:
f
'
x
=
3
sin
2
2
x
5
−
1
*
cos
2
x
5
−
1
*
10
x
4
f
()
x
=
e
ln
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
e
ln
x
*
1
;
gdzie
x
>
0
x
()
()
8
tg
3
2
x
π
π
f
x
=
tg
4
2
x
odp
.
:
f
'
x
=
;
gdzie
x
≠
+
k
;
k
∈
C
cos
2
2
x
4
2
f
()
x
=
x
−
1
−
x
2
*
arccos
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
2
+
x
*
arccos
x
;
gdzie
x
∈
(
1
2
1
−
x
f
()
x
=
sin
2
2
x
+
1
odp
.
:
f
'
()
x
=
sin
( )
2
2
x
+
1
;
x
>
−
1
2
x
+
1
2
f
()
x
=
3
ln
( )
x
2
+
2
odp
.
:
f
'
()
x
=
3
ln
( )
x
2
+
2
ln
3
*
2
x
x
2
+
2
f
()
x
=
e
sin
2
x
odp
.
:
f
'
()
x
=
e
sin
2
x
*
sin
2
x
3.6 Pochodna funkcji
y =
f
() ( )
x
g
x
.
17
−
285041139.007.png
 
() ()
() ()
() ()
( ) ( ) ( )
=
f
x
g
x
/
ln
ln
y
=
ln
f
x
g
x
ln
y
=
g
x
ln
f
x
ln
y
'
=
[
g
x
ln
f
x
]
'
y
'
[ ] () () ()
()
[ ]
=
g
x
'
*
ln
f
x
+
g
x
*
ln
f
x
'
y
y
'
[ ] () ()
()
[ ]
()
f
()
x
'
=
g
x
'
*
ln
f
x
+
g
x
*
y
f
x
[ ] () ()
[ ]
()
f
()
x
'
y
'
=
g
()
x
'
*
ln
f
x
+
g
x
*
*
y
f
x
[ ] () ()
[ ]
()
f
()
x
'
y
'
=
g
()
x
'
*
ln
f
x
+
g
x
*
*
f
() ()
g
x
f
x
() ()
[ ] () ()
()
[ ]
f
()
x
'
y
'
=
f
x
g
x
*
g
x
'
*
ln
f
x
+
g
x
*
f
x
Przykłady:
y
=
x
sin
x
odp
.
:
y
'
=
x
sin
x
cos
x
*
ln
x
+
sin
x
*
1
x
( )
y
=
x
x
odp
.
:
y
'
=
x
x
ln
x
+
1
y
=
x
sin
2
x
odp
.
:
y
'
=
x
sin
2
x
sin
2
x
*
ln
x
+
sin
2
x
*
1
x
y
=
x
sin
2
x
+
1
odp
.
:
y
'
=
x
sin
2
x
+
1
sin
2
x
+
1
*
ln
x
+
sin
2
x
+
1
*
1
2
x
+
1
x
3.7 Pochodna wyższych rzędów.
f
() ()
n
x
=
[ ] ()
f
( )
n
− '
1
x
gdzie
n
∈
N
Wyznaczyć drugą pochodną funkcji () ( )
f
x
=
ln
x
+
1
+
x
2
.
18
y
x
()
285041139.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin