Macierze_troch_teorii_zadania.pdf

(225 KB) Pobierz
Microsoft Word - Æwiczenia.doc
V. ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ – ALGEBRA MACIERZY
5.1 Definicja macierzy.
Macierzą prostokątną m x n, gdzie m,n∈N i oznaczają odpowiednio liczbę wierszy i kolumn,
nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j),
gdzie i = 1, 2, 3…m; j = 1, 2, 3,… n, liczbę a ij . Zatem macierz jest funkcją:
( )
A →
:
i
,
j
a
ij
Macierz zapisujemy w postaci:
a
11
a
12
...
a
1
n
a
21
a
22
...
a
2
n
bądź krócej [a ij ]
...
...
...
...
a
a
a
a
m
m
2
m
3
mn
5.2 Rodzaje macierzy.
1
2
3
A. Macierz nazywamy kwadratową gdy m = n; np.:
4
5
6
7
8
9
B. Macierz, której wszystkie elementy są zerami, nazywamy macierzą zerową, np.:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
lub
0
0
0
0
0
0
C. Macierz nazywamy diagonalną, jeżeli wszystkie elementy poza główną przekątną (tzn.
1
0
0
gdy i ≠ j) są równe zero, np.:
0
2
0
0
0
3
D. Macierz diagonalną, która na głównej przekątnej ma elementy równe 0, nazywamy
1
0
0
macierzą jednostkową, np.:
0
1
0
0
0
1
E. Macierz kwadratową, dla której spełniony jest warunek: a ij = a ji , nazywamy macierzą
1
4
3
symetryczną, np.:
4
6
8
3
8
7
32
1
F. Macierz, którą otrzymujemy z danej macierzy A, poprzez zamianę wierszy na
kolumny, z zachowaniem ich kolejności, nazywamy macierzą transponowaną i
oznaczamy symbolem A T , np.: macierz transponowana powstała z macierzy
2
4
6
2
5
A
=
wygląda nst.:
A
T
=
4
3
5
3
1
6
1
5.3 Działania na macierzach oraz ich własności.
• Sumą (różnicą) macierzy A + B (A – B) tego samego wymiaru m x n nazywamy
macierz, której elementy równe są sumom (różnicom) odpowiednich elementów
1
2
3
4
5
6
macierzy A i B, np.: jeżeli
A
=
4
5
6
B
=
3
4
5
to
7
8
9
7
8
9
1
+
4
2
+
5
3
+
6
5
7
9
A
+
B
=
4
+
3
5
+
4
6
+
5
=
7
9
11
7
+
7
8
+
8
9
+
9
14
16
18
1
−
4
2
−
5
3
−
6
−
3
−
3
−
3
A
−
B
=
4
−
3
5
−
4
6
−
5
=
1
1
1
7
−
7
8
−
8
9
−
9
0
0
0
• Iloczynem macierzy A przez liczbę k, nazywamy macierz, której elementami są
1
3
4
elementy macierzy A pomnożone przez liczbę k, np.:
A
=
5
6
8
, a k = 3, to
9
5
1
3
×
1
3
×
3
3
×
4
3
9
12
A
×
k
=
3
×
5
3
×
6
3
×
8
=
15
18
24
3
×
9
3
×
5
3
×
1
27
15
3
• Iloczynem macierzy A przez macierz B nazywamy macierz, której elementami są
sumy iloczynów kolejnych elementów i – tego wiersza macierzy A przez kolejne
1
2
3
4
5
6
elementy j – tej kolumny macierzy B, np.:
A
=
4
5
6
B
=
3
4
5
to
7
8
9
7
8
9
1
×
4
+
2
×
3
+
3
×
7
1
×
5
+
2
×
4
+
3
×
8
1
×
6
+
2
×
5
+
3
×
9
31
37
43
A
×
B
=
4
×
4
+
5
×
3
+
6
×
7
4
×
5
+
5
×
4
+
6
×
8
4
×
6
+
5
×
5
+
6
×
9
=
73
88
103
7
×
4
+
8
×
3
+
9
×
7
7
×
5
+
8
×
4
+
8
×
8
7
×
6
+
8
×
5
+
9
×
9
115
131
163
• Mnożenie macierzy (o ile istnieje) jest rozdzielne względem dodawania
(odejmowania):
( )
( ) BC
A
B
+
C
=
AB
+
AC
A
+
B
C
=
AC
+
33
Ćwiczenia:
2
1
3
1
2
4
3
4
1) Napisać macierz transponowaną macierzy:
A
=
;
B
=
;
5
6
7
8
5
6
6
7
1
3
; [
]
C
=
E
=
1
5
6
7
5
6
2) Dane są macierze:
A
=
1
2
1
;
B
=
5
6
7
;
C
=
2
4
6
3
2
0
8
9
1
2
5
7
Obliczyć: A + B; B – A; A + 3B – 4C; B T – A T
3) Obliczyć iloczyny AB i BA, jeżeli:
1
3
6
3
2
A
=
;
B
=
1
6
7
2
1
9
1
1
2
1
2
9
4
6
7
2
4) Wykonać mnożenie macierzy:
×
1
2
;
×
5
3
2
0
9
2
1
7
3
6
5.4 Wyznaczniki – metody obliczania.
¾ Metoda wg twierdzenia Laplace’a.
a
11
a
12
...
a
1
n
a
a
...
a
21
22
2
n
Niech dana będzie macierz kwadratowa A nxn =
...
...
...
...
; wyznacznikiem
a
a
a
a
n
1
n
2
n
3
nn
macierzy A nazywamy liczbę:
det A = a i1 x D i1 + a i2 x D i2 + a i3 x D i3 + …+ a in x D in
lub
det A = a 1j x D 1j + a 2j x D 2j + a 3j x D 3j + …+ a nj x D nj
gdzie D ij = (-1) i+j x M ij
a
11
a
12
a
13
np.:
A
=
a
21
a
22
a
23
a
a
a
31
32
33
det
A
=
a
×
()
−
1
1
+
×
a
22
a
23
+
a
×
()
−
1
1
+
2
×
a
21
a
23
+
a
×
()
−
1
1
+
3
×
a
21
a
22
=
11
a
a
12
a
a
13
a
a
32
33
31
33
31
32
(
) (
) (
)
a
11
×
a
22
×
a
33
−
a
23
×
a
32
−
a
12
×
a
21
×
a
33
−
a
23
×
a
31
+
a
13
×
a
21
×
a
32
−
a
22
×
a
31
34
1
285041027.001.png
a
11
a
12
a
13
¾ Dla macierzy stopnia trzeciego można stosować metodę Sarrusa:
A
=
a
21
a
22
a
23
;
a
a
a
31
32
33
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
(
) (
) (
) (
)
det
A
=
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
=
a
11
×
a
22
×
a
33
+
a
12
×
a
23
×
a
31
+
a
13
×
a
21
×
a
32
−
a
12
×
a
21
×
a
33
−
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
−
(
a
11
×
a
23
×
a
32
) (
−
a
13
×
a
22
×
a
31
)
Ćwiczenia:
2
1
1
1
2
2
1) Obliczyć wyznaczniki:
A
=
0
1
2
;
B
=
−
5
2
7
;
3
4
5
3
6
6
2
3
0
4
0
0
3
1
1
1
1
3
1
1
C
=
−
4
1
−
2
;
D
=
3
−
3
0
;
E
=
;
1
1
3
1
1
4
−
2
2
0
−
2
1
1
1
3
1
5
7
−
2
7
3
2
1
7
3
7
−
2
4
3
1
2
4
5
−
1
4
0
5
1
2
F
=
;
G
=
;
H
=
2
3
−
2
1
3
2
1
1
0
0
−
2
1
4
−
1
2
−
3
0
5
3
2
0
0
2
−
3
5.5 Macierz odwrotna – metody wyznaczania.
A*A -1 =A -1 *A= I
gdzie: A – macierz dana (kwadratowa stopnia „n”)
A -1 – szukana macierz odwrotna (kwadratowa stopnia „n”)
I – macierz jednostkowa
1. Przy pomocy definicji:
np.:
A
=
2
5
A
−
1
=
a
11
a
12
1
3
a
a
21
22
2
5
×
a
11
a
12
=
1
0
1
3
a
a
0
1
21
22
2
a
11
+
5
a
21
=
1
2
a
11
+
5
a
21
=
1
a
11
+
3
a
21
=
0
⇒
a
11
+
3
a
21
=
0
⇒
a
=
3
a
=
−
5
a
=
−
1
a
=
2
2
a
+
5
a
=
0
2
a
+
5
a
=
0
11
12
21
22
12
22
12
22
a
12
+
3
a
22
=
1
a
12
+
3
a
22
=
1
A
−
1
=
3
−
5
−
1
2
35
285041027.002.png
2. Zgodnie z twierdzeniem:
A
−
1 =
1
*
A
d
det
A
gdzie: A d – jest macierzą dołączoną macierzy A
A d = D T
gdzie: D jest macierzą wyznaczników dopełnień algebraicznych poszczególnych elementów
macierzy A
1
0
2
np.: wyznacz macierz odwrotną do macierzy
A
=
2
0
1
3
1
1
1
0
2
1
2
1
1
det
A
=
2
0
1
=
1
*
(
−
1
5
*
=
(
−
1
*
( ) 3
−
4
=
; ⇒
=
2
1
det
A
3
3
1
1
D
11
D
12
D
13
D
=
D
21
D
22
D
23
, gdzie D 11 jest dopełnieniem algebraicznym elementu a 11 macierzy A,
D
D
D
31
32
33
D 12 jest dopełnieniem algebraicznym elementu a 12 macierzy A
itd.
D
=
()
−
1
2
*
0
1
=
−
1
D
=
() ()( )
1
3
*
2
1
=
−
1
*
2
−
3
=
1
D
=
()
1
4
*
2
0
=
2
11
1
1
12
3
1
13
3
1
D
=
() ()()
−
1
3
*
0
2
=
−
1
*
−
2
=
2
D
=
()
−
1
4
*
1
2
=
−
5
D
=
() ()
1
5
*
1
0
=
−
1
*
1
=
−
21
1
1
22
3
1
23
3
1
D
=
()
−
1
4
*
0
2
=
0
D
=
() ()( )
−
1
5
*
1
2
=
−
1
*
1
−
4
=
3
D
=
() 0
0
1
6
*
1
0
=
31
0
1
32
2
1
33
2
D
11
D
12
D
13
−
1
1
2
−
1
2
0
D
=
D
D
D
=
2
−
5
−
1
D
T
=
A
d
=
1
−
5
3
21
22
23
D
D
D
0
3
0
2
−
1
0
31
32
33
−
1
2
0
3
3
1
1
5
A
−
1
=
*
A
d
=
−
1
det
A
3
3
2
1
−
0
3
3
36
1
−
−
−
1
−
285041027.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin