Elementy i układy logiczne
Celem ćwiczenia jest zapoznanie z podstawowymi elementami logicznymi i doświadczalne sprawdzenie podstawowych twierdzeń algebry logiki. Poznanie metod syntezy i analizy jedno- i wielowyjściowych układów kombinacyjnych oraz sposobów ich realizacji przy zastosowaniu bezstykowych elementów logicznych.
Powtórzyć materiał dotyczący działań w układzie binarnym. Elementy logiczne. Algebra Boole’a. Synteza i analiza układów logicznych.
1. Podać etapy projektowania układu logicznego
2. Napisać i omówić reguły sklejania
3. Narysować tablice Karnaugha dla 3 i 4 zmiennych
4. Podać różnicę między układami kombinacyjnymi a sekwencyjnymi
5. Podać tabele wartości dwuargumentowych funkcj i: OR, AHD, NOR, WAND.
6. Narysować symbole graficzne funkcji: NOT, OR, AHD, NOR, NAND.
7. Wymienić podstawowe prawa algebry Boole'a.
8. Które prawa algebry Boole'a dotyczące alternatywy i koniunkeji różnią się od praw arytmetyki dotyczących odpowiednio dodawania i mnożenia (które prawa są takie same)?
9. Napisać postać kanoniczną alternatywną i koniunkcyjną dla funkcji trzech argumentów.
W procesach przemysłowych często nie jest konieczny analogowy pomiar wartości parametru, lecz jedynie rozpoznanie osiągnięcia (lub nie) jego zadanej wartości. (Parametrem tym może być na przykład: temperatura, poziom cieczy, przepływ, ciśnienie). Sterowanie urządzeniami wykonawczymi, takimi jak silniki, elektromagnesy czy elementy sygnalizacyjne, odbywa się wówczas w sposób dwustanowy, przez podanie lub niepodanie sygnału sterującego (włączenie-wyłączenie). Występuje więc sytuacja, w której zarówno czujniki, jak i elementy wykonawcze operują na sygnałach mogących przyjmować jedynie dwie wartości. Do opisu działania takich układów stosuje się algebrę Boole'a, a w obrębie niej funkcje Boole'a (funkcje logiczne).
Układy logiczne można podzielić na kombinacyjne i sekwencyjne. Układy kombinacyjne to takie, których wartości wyjścia zależą jednoznacznie od aktualnego stanu wejść. Oznacza to, że stany wyjść są w pełni określone stanem wejść. W układach sekwencyjnych zasada ta nie jest spełniona i wyjście zależy również - ogólnie mówiąc - od historii układu. Metody projektowania układów sekwencyjnych i kombinacyjnych są nieco odmienne.
Układ sterowania logicznego (podobnie jak układ sterowania ciągłego) składa się z trzech funkcjonalnych elementów i bloków. Są to:
· czujniki, dzięki którym uzyskuje się informację o stanie urządzeń i procesu,
· część centralna, decydująca o sposobie działania układu (odpowiednik regulatora) – układ kombinacyjny lub sekwencyjny,
· elementy wykonawcze, sygnalizacyjne i wzmacniające oraz oddziałujące na obiekt przez włączanie i wyłączanie urządzeń.
Elementami wykonawczymi układów logicznych mogą być wszystkie urządzenia sterowane dwustanowe, a więc: urządzenia z napędem elektromagnetycznym, elementy sygnalizacji optycznej i akustycznej, przekaźniki, a także silniki stałoprędkościowe (również nawrotne).
Sygnały sterujące urządzeniami wykonawczymi muszą mieć odpowiedni charakter fizyczny i moc, dlatego też na ogół istnieje konieczność wzmocnienia sygnałów wychodzących z centralnej części układu logicznego. Rolę wzmacniaczy pełnią często przekaźniki.
Podstawy algebry Boole'a
Algebra Boole'a jest "narzędziem" matematycznym służącym m.in. do opisu, analizy i syntezy układów logicznych. Stanowi ona uogólnienie rachunku zdań i algebry zbiorów uznając jedno i drugie tylko za szczególne przypadki ogólniejszej teorii. Dla zdefiniowania każdej algebry potrzebne jest określenie pewnego zbioru, działań w tym zbiorze (operacji), elementów wyróżnionych w tym zbiorze oraz zespołu aksjomatów i twierdzeń.
Binarną algebrę Bool'a tworzą:
- zbiór dwuelementowy {0,1}
- wyróżnione elementy tego zbioru - 0 i 1 - (czyli oba są wyróżnione)
- dwa działania (operacje, funktory) - suma logiczna (+) oraz iloczyn logiczny (*)
- zestaw aksjomatów 1-5 oraz 1'-5'
- wynikający z aksjomatów zestaw twierdzeń 1 - 7 oraz 1' - 7' i 8
Aksjomaty:
Aksjomaty dualne:
Twierdzenia:
Twierdzenia dualne:
- nr 1 - Prawo łączności
- nr 2 - Prawo pochłaniania
- nr.6 to bardzo przydatne Prawo de Morgana (dopełnienia)
Aksjomaty dualne tworzy się poprzez zamianę w aksjomatach 1-5 '0' na '1', '1' na '0', oraz znaku 'mnożenia' na 'dodawanie'.
Związek algebry Boole'a z rachunkiem zdań i algebrą zbiorów:
Prawa przemienności
x1+x2=x2+x1
x1 x2=x2 x1
Prawo rozdzielności
(x1+x2) x3=x1 x3+x2 x3
(x1 x2)+x3=(x1+x3) (x2+x3)
Prawo powtórzenia
x+x=x
x x=x
Minimalizacja funkcji boolowskich
Funkcja przełączająca - zadana za pomocą tablic zależności, wykresów działania czy też opisu słownego - może być stosunkowo łatwo zapisana w postaci kanonicznej. Okazuje się jednak, że przydatność praktyczna (do budowy układu logicznego) tej postaci jest z reguły niewielka i że często istnieją inne, równoważne, a znacznie prostsze pod względem zapisu postacie funkcji. Optymalna postać funkcji zależy w dużym stopniu od elementów, z jakich chcemy zbudować układ, ale w procesie optymalizacji zapisu istnieje etap wspólny dla różnych realizacji, zwany minimalizacją funkcji. Polega on na poszukiwaniu takiej postaci funkcji przełączającej, w której występuje minimalna liczba liter (tzn. zmiennych lub ich negacji). Wszystkie metody minimalizacji wykorzystują tzw. reguły sklejania.
Reguły te można wyrazić następująco: suma lub iloczyn dwóch wyrażeń różniących się między sobą tylko negacją jednej zmiennej mogą być znacznie uproszczone przez odrzucenie tej zmiennej.
Rezultatem sklejania są wyrażenia, które nie są już postaciami kanonicznymi, ale zachowują postać sumy iloczynów oraz iloczynu sum, Wyrażenia tego typu przyjęto nazywać postacią normalną (zminimalizowaną) sumy i postacią normalną (zminimalizowaną) iloczynu.
Kanoniczna postać sumy -KPS- (iloczynu -KPI-) jest jedynie przejściową formą zapisu funkcji boolowskiej. Ze względów czysto technicznych wskazane jest otrzymanie takiej postaci formuły boolowskiej, aby zawierała możliwie jak najmniejszą liczbę składników sumy, o jak najmniejszej liczbie czynników tworzących dany składnik (KPS). Dla KPI postępujemy analogicznie - tzn. możliwie jak najmniejszą liczbę czynników iloczynu o jak najmniejszej liczbie składników, tworzących dany czynnik.
1. Metoda przekształceń formalnych algebraicznych:
gdzie zapis KPS bądź KPI poddaje się przekształceniom zgodnym z aksjomatami i twierdzeniami algebry Boole'a.
Przykład :
Grupowanie składników, wyłączanie przed nawias części wspólnych :
Na mocy aksjomatu 5: otrzymujemy :
Z kolei na mocy dualnego aksjomatu 4' możemy zapisać:
Otrzymaliśmy zatem formułę dwuskładnikową o dwóch czynnikach każdy, podczas gdy pierwotna miała cztery składniki o trzech czynnikach każdy.
Gdyby założyć, że mamy do dyspozycji w realizacji technicznej elementy wykonujące operację sumy, iloczynu i negacji, wówczas oczywiście realizacja techniczna formuły uproszczonej byłaby tańsza, jeśliby przyjąć, że cena układu zależy od liczby elementów, jak i liczby połączeń między nimi.
Zastosowanie przedstawionego sposobu minimalizacji dla funkcji wielu zmiennych Jest bardzo uciążliwe i dlatego stosuje się wówczas inne metody.
Metoda tablic Karnaugha ułatwia sklejanie dzięki takiemu usytuowaniu na płaszczyźnie wyrażeń postaci kanonicznej, aby wyrażenia sąsiednie, podlegające sklejaniu, były umieszczone blisko siebie. Budowę tablic dla trzech, czterech i pięciu zmiennych przedstawiono na rysunkach. Do poszczególnych kratek tablic wpisano odpowiednie liczby, aby ułatwić ich wypełnienie, gdy funkcja jest zadana w postaci dziesiętnej.
2. Algorytmiczna metoda siatek Karnaugha:
W algorytmicznej metodzie siatek Karnaugha stosuje się tzw. regułę sklejania :
gdzie A jest dowolną formułą boolowską
Reguła sklejania pozwala dla dwóch iloczynowych członów różniących się negacją zmiennej x, wyrugować tę zmienną jako nieistotną. Sklejane człony można nazwać sąsiednimi. Zasadniczą trudnością w procesie sklejania jest wyszukanie sąsiednich czł...
Borysek12