Ćwiczenie nr 4

PODSTAWY TECHNIKI CYFROWEJ: FUNKTORY LOGICZNE I PRZERZUTNIKI.

1.            PODSTAWOWE FUNKCJE LOGICZNE I FUNKTORY LOGICZNE

1.1.                           Wstęp

Istotą techniki cyfrowej jest wytwarzanie cyfrowych sygnałów wyjściowych jako odpowiedzi na cyfrowe sygnały wejściowe. Na przykład sumator przetwarza doprowadzone do wejść dwie liczby 16 – bitowe na sumę 16 - bitową tych liczb oraz bit przeniesienia. Można także zbudować układ do mnożenia dwóch liczb. Są to operacje w rodzaju tych, jakie powinna wykonywać jednostka arytmetyczna komputera. Innym zadaniem może być porównanie dwóch liczb w celu sprawdzenia, która z nich jest większa.

Typowymi zadaniami układów cyfrowych jest pobranie pewnych liczb binarnych, ich wyświetlenie, wydrukowanie lub wydziurkowanie jako znaków dziesiętnych. We wszystkich tych zadaniach sygnały (stany) wyjściowe są zdeterminowanymi funkcjami sygnałów (stanów) wejściowych. Wszystkie zadania mogą być wykonane za pomocą urządzeń zwanych bramkami, które realizują działania algebry Boole’a w dziedzinie układów dwustanowych (binarnych) i sieci złożonych z takich elementów, którymi są bramki. Każda ze zmiennych boolowskich może być równa tylko zeru lub równa tylko jedynce. To założenie można zapisać w postaci:

X = 0, jeśli X ¹ 1

X ¹ 1, jeśli X = 0

Funkcję, której zmienne lub ona sama przyjmuje wartości ze zbioru {0, 1} nazywamy funkcją boolowską (logiczną, przełączającą). Natomiast układ przetwarzający logiczne sygnały wejściowe na logiczne sygnały wyjściowe nazywa się układem logicznym.

Przy projektowaniu dwustanowych (0 – stan niski, 1 – stan wysoki) układów cyfrowych posługujemy się algebrą Boole’a.

              Algebra Boole’a, którą stosujemy w układach, opiera się na trzech zasadniczych funkcjach, którymi są:

§         Iloczyn logiczny I (ang. AND),              Y = A · B

§         Suma logiczna LUB (ang. OR),              Y = A + B

§         Negacja (inwersja) NIE (ang. NOT),             

Stosowane są również operatory złożone (pochodne), jak:

§         Suma zanegowana:                                                                                    NOR

§         Iloczyn zanegowany:                                                                                    NAND

§         Równoważność:                                                                                    EX-NOR

§        Nierównoważność, zwana sumą modulo 2:                            EOR, XOR

Jedną z postaci algebry Boole’a jest znany rachunek zdań, gdzie zamiast znaków sumy + stosuje się łącznik lub, zamiast znaku iloczynu – łącznik i, a do negacji używamy słowa nie. Algebra Boole’a posługuje się szeregiem praw i tożsamości.

W algebrze Boole’a obowiązują następujące podstawowe prawa:

1.     Prawo przemienności mnożenia i dodawania:

2.      Prawo łączności:

3.     Prawo rozdzielczości:

4.      Prawa podstawowe:

5.      Prawa de Morgana:

6.      Podstawowe tożsamości algebry Boole’a:

              Funkcje: sumy, iloczynu i negacji tworzą tzw. podstawowy system funkcjonalnie pełny. System funkcji logicznych nazywamy funkcjonalnie pełnym, jeśli za pomocą zasad superpozycji i podstawiania argumentów można uzyskać dowolną funkcję logiczną. Podstawowy system funkcjonalnie pełny nie jest minimalny, ponieważ sumę lub iloczyn można zrealizować za pomocą dwóch pozostałych operatorów, korzystając z praw de Morgana:

Operacja sumy logicznej jest zdefiniowana następująco:

§         jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest równy 1, to wynik jest równy 1. Zatem suma logiczna jest równa 0 tylko dla przypadku, gdy wszystkie argumenty są równe 0.

Operacja iloczynu logicznego jest zdefiniowana następująco:

§         wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują wartość 1.

Operacja negacji jest operacją jednoargumentową i jest zdefiniowana jako zmiana wartości argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to operacja ta daje w wyniku wartość 0, a jeśli argument ma wartość 0, to operacja ta daje w wyniku wartość 1.

Łatwo można wykazać, że:

§         dowolna n - argumentowa funkcja logiczna jest określona dla 2n różnych kombinacji argumentów,

§         liczba różnych n - argumentowych funkcji logicznych jest skończona i równa 2n.

              Dowolną funkcję logiczną można wyrazić przez funkcje logiczne dwóch zmiennych (tablica 2.1). Kilka funkcji przedstawionych w tablicy 2.1 jest szczególnie interesujących, ponieważ są one realizowane za pomocą układów w postaci bramek scalonych TTL.

Do funkcji takich należą funkcje:

§         I (AND),

§         LUB (OR),

§         I - NIE (NAND),

§         LUB - NIE (NOR),

§         ...