19. Nośność sprężysto plastycznych ustrojów prętowych.pdf

(240 KB) Pobierz
Microsoft Word - 19ngra.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. No Ļ no Ļę spr ħŇ ysto-plastycznych ustrojów
pr ħ towych
19. NO ĺ NO ĺĘ SPR Ħņ YSTO-PLASTYCZNYCH USTROJÓW PR Ħ TOWYCH
19.1. Idealizacja wykresu rozci Ģ gania
Wykres rozci Ģ gania stali mi ħ kkiej, otrzymany ze statycznej próby rozci Ģ gania, daje obraz
rzeczywistego zachowania si ħ tego materiału przy osiowym rozci Ģ ganiu. Nieregularny i
skomplikowany kształt tego wykresu sprawia, Ň e w zastosowaniach aproksymuje si ħ go
odcinkowo mo Ň liwie dobrze przybli Ň aj Ģ cymi, prostymi funkcjami analitycznymi. Tej
idealizacji dokonuje si ħ w zale Ň no Ļ ci od charakteru rzeczywistego wykresu i konkretnego
zastosowania. Najcz ħĻ ciej stosowane aproksymacje pokazane s Ģ na rys.19.1.
s
s
s
R H
R e
R e
materiał
liniowo spr ħŇ ysty
materiał sztywno
plastyczny
materiał spr ħŇ ysto-
plastyczny
e
e
e
Rys. 19.1
Model materiału liniowo spr ħŇ ystego (ciało Hooke’a) stosowany jest w zagadnieniach, w
których nie dopuszczamy wyst Ģ pienia odkształce ı plastycznych. Takie ciało było
przedmiotem naszych dotychczasowych rozwa Ň a ı .
Model materiału idealnie sztywno plastycznego (ciało de Saint-Venanta) u Ň ywany jest w
zagadnieniach technologicznej plastyczno Ļ ci, jak np. walcowanie lub przeci Ģ ganie, czyli w
procesach w których odkształcenia plastyczne s Ģ dominuj Ģ ce i spr ħŇ yste mog Ģ by ę
pomini ħ te.
Model ciała idealnie spr ħŇ ysto-plastycznego (ciało Prandtla) stosowany jest do opisu
zachowania si ħ materiału, w którym wyst ħ puje wyra Ņ na platforma płyni ħ cia i w
zagadnieniach, w których dopuszczamy umiarkowane odkształcenia plastyczne.
Stosowane te Ň bywaj Ģ bardziej skomplikowane modele materiału uwzgl ħ dniaj Ģ ce np.
wzmocnienie plastyczne czy nieliniowe odkształcenia spr ħŇ yste.
19.2. Zginanie pr ħ tów z materiału spr ħŇ ysto-plastycznego.
Rozwa Ň a ę b ħ dziemy zginanie poprzeczne pr ħ tów pryzmatycznych wykonanych z materiału o
jednakowych własno Ļ ciach na rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie (materiał izonomiczny), opisanych
modelem ciała idealnie spr ħŇ ysto-plastycznego, którego wykres zale Ň no Ļ ci
e
s
R
−
e
e
s E
=
e
dla
−
e
pl
<
e
<
e
pl
s
=
R
e³
e
dla
e
e
pl
pl
s
=
−
R
e
dla
e −
£
e
pl
−
R
Rys. 19.2
253
s− wraz z
równaniami dla jednoosiowego stanu napr ħŇ enia pokazany jest na rys. 19.2.
pl
88670214.040.png 88670214.041.png 88670214.042.png 88670214.043.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. No Ļ no Ļę spr ħŇ ysto-plastycznych ustrojów
pr ħ towych
Analizy zachowania si ħ takich pr ħ tów dokonamy przyjmuj Ģ c nast ħ puj Ģ ce zało Ň enia:
• spełniona jest zasada płaskich przekrojów,
• obci ĢŇ enie i przekrój poprzeczny belki spełnia warunki poprzecznego zginania,
• pomijalny jest wpływ sił poprzecznych na osi Ģ gni ħ cie stanu plastycznego.
Zaczniemy od analizy wybranego przekroju pr ħ ta, pokazanego na rys. 19.3, w którym
moment zginaj Ģ cy, działaj Ģ cy w jego płaszczy Ņ nie symetrii, pr ħ ta jest równy M (dla
uproszczenia zapisu opuszczony został dolny indeks). W zale Ň no Ļ ci od warto Ļ ci tego
momentu zginaj Ģ cego mog Ģ wyst Ģ pi ę nast ħ puj Ģ ce stany mechaniczne tego przekroju i
odpowiadaj Ģ ce im rozkłady napr ħŇ e ı normalnych (patrz rys. 19.3):
1- stan spr ħŇ ysty,
2- graniczny stan spr ħŇ ysty,
3- stan spr ħŇ ysto-plastyczny (cz ħĻ ciowe uplastycznienie przekroju),
4- graniczny stan plastyczny (pełne uplastycznienie przekroju).
1
2
3
3
4
Z
s
x R
<
s
x R
=
s
x R
=
s
x R
=
s
x R
=
e
e
e
e
e
M
Y
A
Y pl
s
x
<
R
e
s
<
R
e
s
x
=
R
e
s
x
=
R
e
Rys. 19.3
Przy niewielkiej warto Ļ ci momentu zginaj Ģ cego w przekroju wyst ħ puje stan spr ħŇ ysty,
rozkład napr ħŇ e ı normalnych jest liniowy, zeruj Ģ si ħ one na osi Y (osi oboj ħ tnej), a ich
najwi ħ ksza warto Ļę jest mniejsza od granicy plastyczno Ļ ci R .
Zwi ħ kszaniu warto Ļ ci momentu zginaj Ģ cego odpowiada ę b ħ dzie wzrost odkształce ı
liniowych (zarówno tych dodatnich, jak i ujemnych) i stowarzyszony z tym wzrost napr ħŇ e ı
normalnych. Przy pewnej warto Ļ ci M – nazywanej granicznym momentem spr ħŇ ystym
punkty najbardziej oddalone od osi oboj ħ tnej zostan Ģ uplastycznione, wyst Ģ pi Ģ w nich
napr ħŇ enia o warto Ļ ci równej R , i stan ten nazywamy granicznym stanem spr ħŇ ystym.
Dalsze zwi ħ kszaniu momentu zginaj Ģ cego powoduje dalszy wzrost odkształce ı i napr ħŇ e ı ,
ale napr ħŇ enia mog Ģ si ħ zwi ħ ksza ę tylko w tych punktach, gdzie były one mniejsze od granicy
plastyczno Ļ ci R . W tym stanie nazywanym stanem spr ħŇ ysto-plastycznym w przekroju
poprzecznym wyst Ģ pi Ģ obszary spr ħŇ yste, jak i uplastycznione.
Stan ko ı cowy, w którym we wszystkich punktach przekroju napr ħŇ enia s Ģ równe granicy
plastyczno Ļ ci, nazywamy granicznym stanem plastycznym, a moment zginaj Ģ cy M , przy
którym ten stan si ħ realizuje nazywamy - granicznym momentem plastycznym. Przekrój jest
wówczas w pełni uplastyczniony i zgodnie z przyj ħ tym modelem fizycznym materiału
odkształcenia liniowe mog Ģ wzrasta ę w nim nieograniczenie.
Zajmiemy si ħ wpierw granicznym stanem spr ħŇ ystym.
254
x
88670214.001.png 88670214.002.png 88670214.003.png 88670214.004.png 88670214.005.png 88670214.006.png 88670214.007.png 88670214.008.png 88670214.009.png 88670214.010.png 88670214.011.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. No Ļ no Ļę spr ħŇ ysto-plastycznych ustrojów
pr ħ towych
Zale Ň no Ļ ci okre Ļ laj Ģ ce w stanie spr ħŇ ystym rozkład napr ħŇ e ı normalnych, krzywizn ħ osi
belki i jej przemieszczenia s Ģ znane z poprzednich rozwa Ň a ı . O Ļ oboj ħ tna spr ħŇ ystego
zginania to główna centralna ,o Ļ bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego, równoległa do
wektora momenty zginaj Ģ cego. Warto Ļę granicznego momentu spr ħŇ ystego M , tj. momentu
zginaj Ģ cego, który powoduje uplastycznienie skrajnego punktu (lub punktów) przekroju
poprzecznego, wyznaczymy z zale Ň no Ļ ci:
max
s
=
R
=
M
®
M
=
R
W
.
(19.1)
x
e
W
e
spr
spr
gdzie:
W
=
W
=
J
y
to wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci wzgl ħ dem osi oboj ħ tnej spr ħŇ ystego
spr
y
max
z
zginania.
Przejd Ņ my teraz do granicznego stanu plastycznego.
Oznaczmy przez A uplastycznion Ģ rozci Ģ gan Ģ cz ħĻę przekroju, a przez A uplastycznion Ģ
Ļ ciskan Ģ cz ħĻę przekroju (rys. 19.4). Rozdziela je o Ļ oboj ħ tna zginania plastycznego, której
poło Ň enie nie jest, na razie, znane.
Z
s
x R
=
e
A 1
M
A 2
Y pl
s
x
=
R
e
Rys. 19.4
Chcemy wyznaczy ę poło Ň enie osi oboj ħ tnej tego zginania i warto Ļę granicznego momentu
plastycznego M , tj. momentu zginaj Ģ cego, który powoduje całkowite uplastycznienie
przekroju poprzecznego.
Do dyspozycji mamy dwa równania równowa Ň no Ļ ci układów sił wewn ħ trznych i
zewn ħ trznych.
Ð A
s
x dA
=
0
,
ÐÐ s
x
z
dA
=
M
.
A
Podstawiaj Ģ c do pierwszego równania warto Ļ ci napr ħŇ e ı w tym granicznym stanie dostajemy
zale Ň no Ļę
ÐÐ
R
e
dA
1
+ ÐÐ
( )
−
R
e
dA
2
=
0
®
A
1
=
A
2
,
(19.2)
A
A
1
2
która dowodzi, Ň e o Ļ oboj ħ tna zginania plastycznego połowi przekrój poprzeczny.
Z drugiego równania równowa Ň no Ļ ci otrzymujemy warto Ļę granicznego momentu
plastycznego:
255
88670214.012.png 88670214.013.png 88670214.014.png 88670214.015.png 88670214.016.png 88670214.017.png 88670214.018.png 88670214.019.png 88670214.020.png 88670214.021.png 88670214.022.png 88670214.023.png 88670214.024.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. No Ļ no Ļę spr ħŇ ysto-plastycznych ustrojów
pr ħ towych
ÐÐ
R
e
z
dA
1
+ ÐÐ
( )
R
e
z
dA
2
=
M
®
M
=
R
e
W
pl
(19.3)
A
A
1
2
gdzie :
W
pl
=
S
ypl
1
+
S
ypl
2
- plastyczny wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci
(19.4)
S
ypl
1
=
ÐÐ
z
dA
1
,
S
ypl
2
=
ÐÐ
z
dA
2
- momenty statyczne odpowiednich cz ħĻ ci przekroju
A
A
1
2
poprzecznego wzgl ħ dem osi oboj ħ tnej plastycznego zginania.
Oba graniczne momenty zginaj Ģ ce zale Ň ne s Ģ jedynie od materiału i kształtu przekroju
poprzecznego.
Przejd Ņ my teraz do analizy belek z materiału Prandtla pracuj Ģ cych w warunkach zginania
poprzecznego.
W ogólno Ļ ci na długo Ļ ci belki poszczególne jej przekroje mog Ģ si ħ znajdowa ę we wszystkich
wy Ň ej opisanych stanach mechanicznych i zale Ň e ę to b ħ dzie od wielko Ļ ci przyło Ň onych
obci ĢŇ e ı . W pewnej analogii do wy Ň ej wprowadzonych okre Ļ le ı , dotycz Ģ cych momentów
zginaj Ģ cych mo Ň emy obci ĢŇ enia przyło Ň one do belki podzieli ę na:
• graniczne obci ĢŇ enie spr ħŇ yste (graniczna no Ļ no Ļę spr ħŇ ysta)
• graniczne obci ĢŇ enie plastyczne (graniczna no Ļ no Ļę plastyczna)
• no Ļ no Ļę graniczna.
Graniczne obci ĢŇ enie spr ħŇ yste P lub q - to taka wielko Ļę obci ĢŇ enia danej belki, przy
której cho ę w jednym jej przekroju wyst Ģ pi graniczny moment spr ħŇ ysty M .
Graniczne obci ĢŇ enie plastyczne P lub q - to taka wielko Ļę obci ĢŇ enia danej belki przy
q - to taka wielko Ļę obci ĢŇ enia danej belki przy którym traci
ona zdolno Ļę do jego przenoszenia (belka staje si ħ geometrycznie zmienna).
W belkach statycznie wyznaczalnych graniczne obci ĢŇ enie plastyczne jest to Ň same z
no Ļ no Ļ ci Ģ graniczn Ģ , gdy Ň pełne uplastycznienie przekroju jest równowa Ň ne powstaniu w
nim przegubu plastycznego, co czyni belk ħ kinematycznie zmienn Ģ . Przegub plastyczny, w
odró Ň nieniu od zwykłego przegubu przenosi graniczny moment plastyczny M , ale obrót
s Ģ siednich przekrojów jest w nim swobodny co daje belce dodatkowy stopie ı swobody.
W belkach statycznie niewyznaczalnych sytuacja jest troch ħ odmienna bo na ogół powstaniu
jednego przegubu plastycznego nie czyni belki geometrycznie zmienn Ģ , a tylko obni Ň a jej
stopie ı statycznej niewyznaczalno Ļ ci. St Ģ d na w belce n-krotnie statycznie niewyznaczalnej
maksymalna liczba przegubów plastycznych, potrzebna do zamiany belki w mechanizm
wynosi n +1.
No Ļ no Ļę graniczn Ģ mo Ň na otrzyma ę w dwojaki sposób:
• pierwszy, polega na zwi ħ kszaniu obci ĢŇ e ı i analizie kolejnych wywołanych przez nie
stanów konstrukcji od spr ħŇ ystych a Ň do stanu no Ļ no Ļ ci granicznej,
• drugi, polega na bezpo Ļ redniej analizie stanów no Ļ no Ļ ci granicznej tzn. analizie
konstrukcji w której wprowadzonych zostało tak wiele przegubów plastycznych (w ogólno Ļ ci
obszarów uplastycznionych), Ň e stała si ħ geometrycznie zmienna i wykorzystaniu twierdze ı
ekstremalnych teorii plastyczno Ļ ci.
W teorii plastyczno Ļ ci wyst ħ puj Ģ poj ħ cia pól statycznie i kinematycznie dopuszczalnych w
konstrukcji, które definiujemy nast ħ puj Ģ co:
• polem statycznie dopuszczalnym, nazywamy pole napr ħŇ e ı , które spełnia warunki
P lub
*
*
256
−
której cho ę w jednym jej przekroju wyst Ģ pi graniczny moment plastyczny M .
No Ļ no Ļ ci graniczna
88670214.025.png 88670214.026.png 88670214.027.png 88670214.028.png 88670214.029.png 88670214.030.png 88670214.031.png 88670214.032.png 88670214.033.png 88670214.034.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. No Ļ no Ļę spr ħŇ ysto-plastycznych ustrojów
pr ħ towych
równowagi i jest niesprzeczne z warunkiem plastyczno Ļ ci tzn.
max
M £
M
(
max
s
£
R
e
)
• polem kinematycznie dopuszczalnym nazywamy pole przemieszcze ı , które jest
niesprzeczne z istniej Ģ cymi wi ħ zami.
Twierdzenia ekstremalne teorii plastyczno Ļ ci mo Ň emy sformułowa ę nast ħ puj Ģ co:
• twierdzenie o oszacowaniu dolnym:
najwi ħ ksze spo Ļ ród statycznie dopuszczalnych obci ĢŇ e ı granicznych jest rzeczywist Ģ
no Ļ no Ļ ci Ģ graniczn Ģ ,
• twierdzenie o oszacowaniu dolnym:
najmniejsze spo Ļ ród kinematycznie dopuszczalnych obci ĢŇ e ı granicznych jest rzeczywist Ģ
no Ļ no Ļ ci Ģ graniczn Ģ .
St Ģ d wnosimy, Ň e wyznaczona metod Ģ pól statycznie dopuszczalnych (podej Ļ cie statyczne)
no Ļ no Ļę graniczna jest oszacowaniem od dołu rzeczywistej no Ļ no Ļ ci granicznej, natomiast w
przypadku pól kinematycznie dopuszczalnych ( podej Ļ cie kinematyczne) jest oszacowaniem
od góry.
Mo Ň na wi ħ c powiedzie ę , Ň e rezultat otrzymany podej Ļ ciem statycznym jest bezpieczniejszy
gdy Ň okre Ļ lona t Ģ metod Ģ no Ļ no Ļę graniczna jest mniejsza od rzeczywistej i w istocie rzeczy
konstrukcja mo Ň e przenie Ļę wi ħ ksze obci ĢŇ enie.
Te dwa sposoby pokazane zostan Ģ na przykładzie belki jednokrotnie statycznie
niewyznaczalnej o prostok Ģ tnym przekroju poprzecznym b × h =0.06 × 0.12 m, obci ĢŇ onej jak
na rys. 19.5 i wykonanej z materiału, którego granica plastyczno Ļ ci
R
=
225
MPa.
Z
P
2 P
Z
h = 0.12 m
b = 0.06 m
X
Y
h
A
B
D
C
l = 1.0 m
2 l
l
l
b
Rys. 19.5
Wpierw obliczymy graniczne momenty spr ħŇ ysty i plastyczny. Poniewa Ň przekrój jest
bisymetryczny wi ħ c o Ļ Y jest osi Ģ oboj ħ tn Ģ zginania zarówno spr ħŇ ystego jak i plastycznego.
Wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci spr ħŇ ystego zginania wynosi:
W spr
=
bh
2
/
6
=
144
cm 3 , natomiast
wska Ņ nik wytrzymało Ļ ci plastycznego zginania jest równy:
216
=
2
*
bh
2
/
8
=
bh
2
/
4
=
cm 3 .
St Ģ d graniczny moment spr ħŇ ysty:
M
=
R
W
=
225
*
10
6
*
144
*
10
−
6
=
32400
Nm, a
e
spr
e Nm.
Pierwsza metoda okre Ļ lenia no Ļ no Ļ ci granicznej wymaga wyznaczenia momentów w tej
jednokrotnie statycznie niewyznaczalnej belce. Aby to uczyni ę musimy zna ę reakcje, których
wyznaczenie z samych równa ı równowagi nie jest mo Ň liwe. Gdyby Ļ my jednak znali jedn Ģ z
nich to pozostałe łatwo wyznaczymy z równa ı równowagi. Wyznaczmy wi ħ c warto Ļę
momentu w utwierdzeniu M . W tym celu zast Ģ pimy dan Ģ belk ħ statycznie niewyznaczaln Ģ
równowa Ň n Ģ jej wolnopodpart Ģ belk Ģ statycznie wyznaczaln Ģ obci ĢŇ on Ģ prócz sił skupionych,
momentem M . Warto Ļę M wyliczymy z warunku zerowania si ħ k Ģ ta ugi ħ cia na podporze
A w belce wolnopodpartej. Mo Ň emy to uczyni ę korzystaj Ģ c np. z metody Mohra obliczania
ugi ħę .
M
=
R
W
=
225
*
10
6
*
216
*
10
−
6
=
48600
pl
257
W pl
graniczny moment plastyczny wynosi:
88670214.035.png 88670214.036.png 88670214.037.png 88670214.038.png 88670214.039.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin