18. Zginanie porzeczne ze ściskaniem.pdf

(74 KB) Pobierz
Microsoft Word - 18zgisci.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Zginanie poprzeczne ze Ļ ciskaniem
18. ZGINANIE POPRZECZNE ZE ĺ CISKANIEM
18.1. Postawienie zagadnienia
Przy omawianiu zagadnienia mimo Ļ rodowego Ļ ciskania bardzo mocno zostało podkre Ļ lone,
Ň e otrzymane wzory mog Ģ by ę stosowane tylko wówczas, gdy konstrukcja spełnia warunki
pozwalaj Ģ ce na przyj ħ cie zasady zesztywnienia. Teraz zajmiemy si ħ przypadkiem, który
pokazuje jak istotne s Ģ konsekwencje rezygnacji z przyj ħ cia zasady zesztywnienia i jak
wysoce bł ħ dne byłyby wyniki oblicze ı przy jej przyj ħ ciu. Przypadek ten wyst ħ puje, gdy do
Ļ ciskanego osiowo pr ħ ta pryzmatycznego przyło Ň one jest jeszcze obci ĢŇ enie powoduj Ģ ce jego
poprzeczne zginanie (rys. 18.1). W pokazanej na poni Ň szym rysunku belce, układ sił
Z
P
X
P
w(x)
w
Rys. 18.1
obci ĢŇ aj Ģ cych jest przyczyn Ģ jej ugi ħ cia i łatwo zauwa Ň y ę , Ň e w konfiguracji aktualnej (po
przyło Ň eniu obci ĢŇ e ı ) równanie momentów zginaj Ģ cych mo Ň na zapisa ę , uwzgl ħ dniaj Ģ c
wpływ przemieszcze ı osi belki na ich warto Ļ ci, w postaci:
( )
y
x
=
M
0
( )
x
+
P
w
( )
x
(18.1)
gdzie: ( )
M 0
x
- moment zginaj Ģ cy w belce nieodkształcalnej.
W przyj ħ tym układzie odniesienia równanie ró Ň niczkowe ugi ħ tej osi belki ma posta ę :
( )
2
w
x
M
y
EJ
( )
x
=
−
.
dx
2
y
Podstawienie do niego funkcji momentów (18.1) daje równanie:
d
2
w
( )
x
M
0
( )
x
( )
y
EJ
+
k
2
w
x
=
−
(18.2)
dx
2
y
gdzie:
k =
2
P
.
(18.3)
EJ
y
Rozwi Ģ zaniem niejednorodnego równania ró Ň niczkowego zwyczajnego (18.2) jest funkcja
( ) ( )
x
=
w
s
x
+
A
sin +
kx
B
cos
kx
(18.4)
w s - całka szczególna tego równania, A oraz B - stałe całkowania zale Ň ne od
kinematycznych warunków brzegowych belki.
Znaj Ģ c funkcj ħ ( )
x
w , momenty zginaj Ģ ce i siły poprzeczne w belce wyznaczamy z
x
zale Ň no Ļ ci:
( )
d
2
w
( )
2
x
M
x
=
−
EJ
y
y
d
x
206
M
y
d
w
gdzie: ( )
88670211.045.png 88670211.046.png 88670211.047.png 88670211.048.png 88670211.001.png 88670211.002.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Zginanie poprzeczne ze Ļ ciskaniem
( )
d
3
w
( )
3
x
Q
x
=
−
EJ
.
z
y
d
x
Warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych dla tego przypadku w przyj ħ tych układach odniesienia
wynosz Ģ :
s
=
−
P
−
M
y
( ) z
x
.
(18.5)
x
A
J
y
18.2. Belka wolnopodparta obci ĢŇ ona sił Ģ w Ļ rodku rozpi ħ to Ļ ci
Rozwa Ň my, pokazan Ģ na rys.18.2 belk ħ wolnopodpart Ģ obci ĢŇ on Ģ w Ļ rodku sił Ģ Q ,
prostopadł Ģ do jej osi i Ļ ciskaj Ģ c Ģ osiowo sił Ģ P.
Z
Q
P
Q/ 2
Q /2
P
X
l/ 2
l/ 2
w(x)
Rys. 18.2
Ze wzgl ħ du na symetri ħ belki rozpatrywa ę b ħ dziemy tylko jeden przedział
0
£
x £
l
2
Poniewa Ň ( )
M y =
0
x
Q
x
wi ħ c łatwo zgadn Ģę i sprawdzi ę przez podstawienie, Ň e:
2
w s
( )
x
=
−
Q
x
jest całk Ģ szczególn Ģ równania niejednorodnego (18.2), w zwi Ģ zku z czym
2
P
jego całka ogólna ma posta ę :
w
( )
x
=
−
Q
x
+
A
sin
kx
+
B
cos
kx
.
(18.6)
2
P
Z kinematycznych warunków brzegowych wyznaczymy stałe całkowania:
1
/
w
( )
0
=
0
Ë
B
=
0
B
=
0
Q
1
Ä
l
Ô
®
Q
kl
®
,
2
/
w
'
Æ
Ö
=
0
−
+
k
A
cos
=
0
A
=
2
Ì
2
P
2
2
kP
cos
kl
/
2
a po ich wstawieniu do (18.6) otrzymamy funkcj ħ ugi ħę belki:
w
( )
x
=
Q
sin
kx
−
Q
x
.
(18.7)
2
k
P
cos
kl
2
2
P
Maksymalne ugi ħ cie belki wyst Ģ pi w jej Ļ rodku rozpi ħ to Ļ ci i ma warto Ļę :
max
w
=
w
Æ
l
Ö
=
Q
sin
kl
2
−
Q
l
=
Q
Å
Æ
tg
kl
2
−
l
Õ
Ö
.
2
2
k
P
cos
kl
2
4
P
2
EJ
k
3
2
k
2
y
207
Ê
Ä
Ô
Ä
Ô
88670211.003.png 88670211.004.png 88670211.005.png 88670211.006.png 88670211.007.png 88670211.008.png 88670211.009.png 88670211.010.png 88670211.011.png 88670211.012.png 88670211.013.png 88670211.014.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Zginanie poprzeczne ze Ļ ciskaniem
Poprzez szereg przekształce ı mo Ň emy ostatecznie zapisa ę :
Q
l
3
( )
max
w
=
k
u
,
(18.8)
1
48
EJ
y
gdzie:
u = , ( )
kl
k
u
=
3
Ä −
tg
u
u
Ö
.
2
1
u
3
Zwi Ģ zek mi ħ dzy momentem zginaj Ģ cym i drug Ģ pochodn Ģ ugi ħ cia daje:
M =
( )
Q
sin
kx
(18.9)
2
k
cos
kl
2
Maksymalny moment zginaj Ģ cy wyst ħ puje w Ļ rodku rozpi ħ to Ļ ci belki i ma warto Ļę :
max
M
=
M
Æ
l
Ö
=
Q
l
k
( )
,
(18.10)
2
2
4
gdzie: ( )
k
u
=
tg
u
2
u
Dokonajmy krótkiej analizy wzoru (18.8) podaj Ģ cego warto Ļ ci maksymalnego ugi ħ cia w
postaci iloczynu maksymalnego ugi ħ cia w belce przy przyj ħ ciu zasady zesztywnienia i funkcji
( )
u
k P , gdy Ň
u
=
kl
®
u
=
l
P
=
p
P
,
2
2
EJ
2
P
E
kr
y
to dla
Q
l
3
P
=
0
( ) 1
k
1 =
u
i
max
w
=
,
48
EJ
y
a dla
P ®
P
E
kr
,
( ) ¥
u
=
i
max
w
®
¥
.
Otrzymany wynik pokazuje, Ň e w przypadku przyło Ň enia siły krytycznej przemieszczenia
belki b ħ d Ģ wzrasta ę do niesko ı czono Ļ ci przy dowolnie małym obci ĢŇ eniu poprzecznym.
Analogiczne wnioski daje analiza wzoru na maksymalny moment zginaj Ģ cy. Ni Ň ej pokazane
s Ģ warto Ļ ci funkcji ( )
k
u
i ( )
k
u
w zale Ň no Ļ ci od stosunku
P
P
E
kr
.
208
Æ
Ô
u
Ä
Ô
k . Je Ļ li zauwa Ň ymy, Ň e argument tej funkcji mo Ň na wyrazi ę w zale Ň no Ļ ci od warto Ļ ci
przyło Ň onej siły Ļ ciskaj Ģ cej P i siły krytycznej Eulera
E
k
88670211.015.png 88670211.016.png 88670211.017.png 88670211.018.png 88670211.019.png 88670211.020.png 88670211.021.png 88670211.022.png 88670211.023.png 88670211.024.png 88670211.025.png 88670211.026.png 88670211.027.png 88670211.028.png 88670211.029.png 88670211.030.png 88670211.031.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Zginanie poprzeczne ze Ļ ciskaniem
P
P
E
kr
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.5
0.7
0.8
0.9
1.0
k
( )
u
1.110 1.248 1.423 1.658 1.983 2.479 3.301 4.943 9.871
¥
k
( )
u
1.091 1.205 1.351 1.545 1.817 2.223 2.900 4.253 8.307
¥
0
uwzgl ħ dnienie zasady zesztywnienia mo Ň e dawa ę 10% ró Ň nice w warto Ļ ciach momentów
zginaj Ģ cych.
18.3. Belka wolnopodparta mimo Ļ rodowo Ļ ciskana
Teraz przedmiotem rozwa Ň a ı b ħ dzie belka wolnopodparta pokazana na rys. 18.3 obci ĢŇ ona
siłami Ļ ciskaj Ģ cymi P równoległymi do jej osi zaczepionymi na mimo Ļ rodzie e . Zasada de
Saint Venanta pozwala na zast Ģ pienie tej belki równowa Ň n Ģ jej belk Ģ obci ĢŇ on Ģ momentami
zginaj Ģ cymi M = Pe na podporach i Ļ ciskaj Ģ c Ģ osiowo sił Ģ P .
. 1
P
E
kr
Z
Z
M = Pe
P
P
M = Pe
e
e
º
X
P
X
P
l
l
w(x)
w(x)
Rys. 18.3
W tym przypadku ( ) e
M y =
0
x
P
, a całka szczególna równania niejednorodnego (18.2), równa
si ħ : ( ) e
w s
x
= , wi ħ c jego całka ogólna przyjmuje posta ę :
w
( )
x
=
−
e
+
A
sin +
kx
B
cos
kx
.
(18.11)
Stałe całkowania wyznaczone z kinematycznych warunków brzegowych s Ģ równe:
1
/
w
( )
( )
0
=
0
Ê
B
=
e
B
−
=
cos
kl
®
®
.
2
/
w
l
=
0
−
e
+
A
sin
kl
+
e
cos
kl
=
0
A
=
sin
kl
St Ģ d funkcja ugi ħę osi belki przyjmuje posta ę :
w
( )
x
=
−
e
+
(
e
−
e
cos
kl
)
sin
kx
+
e
cos
kx
=
−
e
+
e
sin
kx
−
cos
k
sin
kxl
+
sin
kl
cos
kx
=
sin
kl
sin
kl
,
( )
Ç
sin
kx
+
sin
k
l
−
x
×
=
e
−
1
É
Ù
sin
kl
a równanie momentów zginaj Ģ cych przedstawia zale Ň no Ļę :
M y
( )
x
=
Pe
+
Pe
Ç
sin
kx
+
sin
k
( )
l
−
x
−
1
×
.
(18.12)
É
Ù
sin
kl
Maksymalne ugi ħ cie belki wyst Ģ pi w Ļ rodku jej rozpi ħ to Ļ ci i ma warto Ļę :
209
Wyniki pokazane w tabelce mog Ģ dowodzi ę , Ň e przy sile Ļ ciskaj Ģ cej o warto Ļ ci
e
e
e
88670211.032.png 88670211.033.png 88670211.034.png 88670211.035.png 88670211.036.png 88670211.037.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Zginanie poprzeczne ze Ļ ciskaniem
max
w
=
w
Æ
l
Ö
=
e
Å
Æ
1
−
1
Õ
Ö
=
e
sec
kl
/
2
−
1
,
(18.13)
2
cos
kl
2
st Ģ d maksymalny moment zginaj Ģ cy, który te Ň wyst Ģ pi w Ļ rodku rozpi ħ to Ļ ci, wynosi:
max
M
=
M
Æ
l
Ö
=
Pe
sec
kl
/
2
.
(18.14)
y
y
2
Poniewa Ň :
kl
=
p
P
,
2
2
P
E
kr
P ® zarówno maksymalne ugi ħ cie jak i maksymalny moment zginaj Ģ cy w belce
zmierzaj Ģ do niesko ı czono Ļ ci przy dowolnie małym mimo Ļ rodzie e .
Inaczej mówi Ģ c przyło Ň enie do belki siły krytycznej powoduje jej zniszczenie, gdy Ň
praktycznie nie jest mo Ň liwe idealnie osiowe obci ĢŇ enie pr ħ ta.
P
E
kr
,
210
Ä
Ô
(
Ä
Ô
Ä
Ô
to przy
88670211.038.png 88670211.039.png 88670211.040.png 88670211.041.png 88670211.042.png 88670211.043.png 88670211.044.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin