13. Ukośne zginanie.pdf

(157 KB) Pobierz
Microsoft Word - 13ukozgi.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Uko Ļ ne zginanie
13. UKO ĺ NE ZGINANIE
13.1. Napr ħŇ enia i odkształcenia
Uko Ļ ne zginanie pr ħ ta pryzmatycznego wyst ħ puje wówczas gdy układ sił zewn ħ trznych po
jednej stronie jego przekroju poprzecznego pr ħ ta redukuje si ħ do momentu zginaj Ģ cego M ,
którego wektor nie jest równoległy do Ň adnej z głównych, centralnych osi bezwładno Ļ ci
przekroju poprzecznego. B ħ dziemy si ħ starali wyznaczy ę elementy macierzy napr ħŇ e ı i
odkształce ı oraz współrz ħ dne wektora przemieszczenia w dowolnym punkcie pr ħ ta.
Rozwa Ň my wi ħ c, pokazany na rys. 13.1 pr ħ t pryzmatyczny okre Ļ lony w układzie osi
( X, Y ,Z ), w którym o Ļ X jest osi Ģ pr ħ ta, a osie ( Y, Z ) s Ģ głównymi centralnymi osiami
bezwładno Ļ ci jego przekroju poprzecznego. Materiał pr ħ ta jest izotropowy, liniowo spr ħŇ ysty
o stałych materiałowych E oraz n. W rozwa Ň anym przypadku moment zginaj Ģ cy działa w
płaszczy Ņ nie zaznaczonej szarym kolorem na rysunku, a jego wektor jest nachylony pod
k Ģ tem a do osi Y .
Z
Y
v
1
0
0
)
Z
M
a
M
M z
X
a
Y
M y
I
II
A
M
płaszczyzna
obci ĢŇ enia
Ļ lad płaszczyzny
obci ĢŇ enia
x
Rys. 13.1
M z = , których kierunki
s Ģ równoległe do odpowiednich osi układu odniesienia (rys. 13.1). W ten nieskomplikowany
sposób otrzymali Ļ my dwa proste zginania wzgl ħ dem osi Y i Z , dla których macierze napr ħŇ e ı
s Ģ ju Ň nam znane. W obu przypadkach jedynym niezerowym elementem macierzy napr ħŇ e ı
jest napr ħŇ enie normalne s . Proste sumowanie, zgodnie z zasad Ģ superpozycji, daje wzór
okre Ļ laj Ģ cy te napr ħŇ enia, dla rozwa Ň anego pr ħ ta, w postaci:
M y =
M
cos
a
i
M
sin
a
s
=
M
y
z
−
M
z
y
(13.1)
x
J
J
y
z
lub, po wykorzystaniu zale Ň no Ļ ci mi ħ dzy M , M i M w formie:
s
=
M
Å
cos
a
z
−
sin
a
y
Õ
.
(13.2)
x
J
J
Æ
y
z
Ö
169
(
Przy rozwi Ģ zywaniu postawionego zadania wykorzystamy wyniki uzyskane dla przypadku
zginania prostego.
Otó Ň zgodnie z zasad Ģ de Saint-Venanta statycznie równowa Ň ne obci ĢŇ enia wywołuj Ģ
jednakowe stany napr ħŇ enia i odkształcenia, a je Ļ li tak to moment M mo Ň emy zast Ģ pi ę
dwoma równowa Ň nymi mu momentami
Ä
Ô
88670295.023.png 88670295.024.png 88670295.025.png 88670295.026.png 88670295.001.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Uko Ļ ne zginanie
Wzory okre Ļ laj Ģ ce krzywizn ħ osi pr ħ ta po deformacji w wyniku działania momentów y
M i
M , maj Ģ posta ę :
z
1
=
M
y
oraz
1
=
M
y
.
(13.3)
r
E
J
r
E
J
y
y
z
y
Z, w
Ugi ħ cia punktów osi pr ħ ta w kierunku osi Y i Z
obliczamy od ka Ň dego momentu zginaj Ģ cego
osobno, korzystaj Ģ c z równa ı ró Ň niczkowych,
które przy zwrotach momentów i układu
odniesienia pokazanych na rys.13.2 s Ģ
nast ħ puj Ģ ce:
Y, v
M
z
M
y
X
M
y
M
z
Rys.13.2
d
2
w
M
d
2
v
M
=
−
y
oraz
=
z
J
(13.4)
dx
2
E
J
dx
2
E
y
z
Całkowite ugi ħ cie osi belki jest geometryczna sum Ģ ugi ħę od składowych momentów
zginaj Ģ cych.
Macierz odkształce ı odpowiadaj Ģ c temu stanowi napr ħŇ enia łatwo wyznaczymy z równa ı
Hooke’a, i b ħ dzie ona zawierała jedynie trzy odkształcenia liniowe, z których dwa s Ģ sobie
równe.
13.2. Analiza stanu napr ħŇ enia i odkształcenia
W tym przypadku wytrzymało Ļ ci w pr ħ cie wyst ħ puje jednoosiowy niejednorodny stan
napr ħŇ enia, przy czym warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych s , s Ģ liniow Ģ funkcj Ģ zmiennych y
oraz z i nie zale ŇĢ od zmiennej x . Poniewa Ň jedynym niezerowym elementem macierzy
napr ħŇ e ı jest s , to wnioski z analizy stanu napr ħŇ enia i odkształcenia dla tego przypadku,
dotycz Ģ ce napr ħŇ e ı i odkształce ı głównych ich kierunków, jak i ekstremalnych napr ħŇ e ı
stycznych b ħ d Ģ analogiczne do tych, jakie były w przypadku osiowego rozci Ģ gania i zginania
prostego. Wzory (13.1) czy (13.2) pokazuj Ģ , Ň e ko ı ce wektorów napr ħŇ enia s le ŇĢ na
płaszczy Ņ nie - płaszczy Ņ nie napr ħŇ e ı . Kraw ħ d Ņ przeci ħ cia si ħ płaszczyzny napr ħŇ e ı z
płaszczyzn Ģ przekroju poprzecznego, tj. o Ļ oboj ħ tna, stanowi miejsce geometryczne
punktów, w których warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych spełniaj Ģ równanie:
s
=
0
Podstawiaj Ģ c do niego wyra Ň enie (13.2) dostajemy równanie osi oboj ħ tnej dla rozwa Ň anego
przypadku:
z
=
J
y
tg
a
y
(13.5)
J
z
Zatrzymajmy si ħ chwil ħ przy równaniu tej prostej. Jego prosta analiza pokazuje, Ň e przy
uko Ļ nym zginaniu:
• o Ļ oboj ħ tna przechodzi przez pocz Ģ tek układu współrz ħ dnych ale jej poło Ň enie
(nachylenie) nie zale Ň y od warto Ļ ci momentu zginaj Ģ cego,
170
88670295.002.png 88670295.003.png 88670295.004.png 88670295.005.png 88670295.006.png 88670295.007.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Uko Ļ ne zginanie
• poło Ň enie osi oboj ħ tnej zale Ň y od warto Ļ ci y
J , z
J oraz a, tzn. od geometrii przekroju
poprzecznego i płaszczyzny działania obci ĢŇ e ı ,
• o Ļ oboj ħ tna nie pokrywa si ħ z kierunkiem wektora momentu zginaj Ģ cego (tak było w
przypadku prostego zginania), odchyla si ħ ona od niego w kierunku „minimalnej” głównej
centralnej osi bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego.
Wyj Ģ tek mogłyby stanowi ę przekroje dla których
J = , ale wobec zerowania si ħ
y J
z
J , ka Ň da o Ļ centralna jest osi Ģ główn Ģ centraln Ģ i w takim przypadku
zawsze wyst ħ powa ę b ħ dzie proste zginanie.
Powy Ň sze spostrze Ň enia s Ģ bardzo istotne z punktu widzenia wymiarowania, bo pozwalaj Ģ
łatwo wyznaczy ę punkty przekroju poprzecznego, w których napr ħŇ enia normalne
s osi Ģ gaj Ģ warto Ļ ci ekstremalne. Punkty te poło Ň one s Ģ najdalej od osi oboj ħ tnej co wynika
to z liniowo Ļ ci wzoru okre Ļ laj Ģ cego warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych.
Rozkład napr ħŇ e ı normalnych s w przekroju poprzecznym pr ħ ta pokazuje rys.13.3.
Z
o Ļ oboj ħ tna
Y
X
Rys. 13.3
Rozkład ten jest wynikiem dodania do siebie rozkładów z dwóch prostych zgina ı , tj. zginania
w płaszczy Ņ nie ( X, Z ) i w płaszczy Ņ nie ( X, Y ) (rys.13.4).
Z
Z
M y
M z
Y
Y
X
X
Rys.13.4
Jak ju Ň zostało powiedziane, najwi ħ ksze co do bezwzgl ħ dnej warto Ļ ci napr ħŇ enia wyst Ģ pi Ģ w
punktach najodleglejszych od osi oboj ħ tnej. Wyznaczenie poło Ň enia tych punktów przy
znajomo Ļ ci poło Ň enia osi oboj ħ tnej nie powinno sprawia ę trudno Ļ ci.
Kolejny raz nale Ň y podkre Ļ li ę , Ň e wyprowadzone wzory obowi Ģ zuj Ģ przy przyj ħ tych
zwrotach osi układu odniesienia i wektora momentu zginaj Ģ cego. W przypadku innych
zwrotów nale Ň y we wzorach uwzgl ħ dni ę korekt ħ znaków.
171
momentu dewiacji yz
88670295.008.png 88670295.009.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Uko Ļ ne zginanie
13.3. Wymiarowanie pr ħ tów uko Ļ nie zginanych
Tak jak w przypadku prostego zginania ograniczymy si ħ teraz tylko do wymiarowania ze
wzgl ħ du na stan graniczny no Ļ no Ļ ci, przyjmuj Ģ c, Ň e b ħ dzie on osi Ģ gni ħ ty, je Ļ li przynajmniej
w jednym punkcie przekroju poprzecznego wielko Ļę napr ħŇ enia normalnego b ħ dzie równa
wytrzymało Ļ ci obliczeniowej.
Je Ļ li pr ħ t wykonany jest z materiału którego wytrzymało Ļ ci obliczeniowe przy rozci Ģ ganiu R r
i Ļ ciskaniu R c , s Ģ ró Ň ne to warunek stanu granicznego no Ļ no Ļ ci stanowi Ģ nierówno Ļ ci:
max
s
x
r
£
R
r
i
max
s
x
c
£
R
c
gdzie:
max s i
x
r
max s
x
c
- najwi ħ ksze napr ħŇ enia rozci Ģ gaj Ģ ce i Ļ ciskaj Ģ ce w przekroju
s .
Gdy przekrój poprzeczny pr ħ ta ma dwie osie symetrii i obrys zewn ħ trzny jego kształtu jest
prostok Ģ tny np. dwuteownik, prostok Ģ t z wyci ħ tymi otworami itp. to maksymalne napr ħŇ enia
normalne wyst Ģ pi Ģ w naro Ň ach i maj Ģ warto Ļę :
£
max
s
=
max
s
=
M
y
+
M
z
.
x
r
x
c
W
W
y
z
13.4. Przykłady
Z
Przykład 13.4.1. Drewniana belka wspor-
nikowa o długo Ļ ci l = 1.0 m i
prostok Ģ tnym przekroju poprzecznym
b = 12 cm , h = 24 cm obci ĢŇ ona jest na
ko ı cu sił Ģ P = 4.0 kN nachylon Ģ pod
k Ģ tem a = 20° do osi pionowej (rysunek
obok). Wyznaczy ę rozkład napr ħŇ e ı
normalnych w przekroju utwierdzenia i
poło Ň enie osi oboj ħ tnej.
płaszczyzna obci ĢŇ enia
a
P
Y
h
X
l
b
Rozwi Ģ zanie
P = 4.0 kN
P
a
Z
Z
4
1
M z
Y
M
X
l = 1.0 m
Y
M y
M
kNm
3
2
Ļ lad płaszczyzny
obci ĢŇ enia
172
poprzecznym.
W przypadku materiału o tej samej wytrzymało Ļ ci obliczeniowej na rozci Ģ ganie i Ļ ciskanie
(materiał izonomiczny) warunek wymiarowania b ħ dzie jeden:
R
max x
88670295.010.png 88670295.011.png 88670295.012.png 88670295.013.png 88670295.014.png 88670295.015.png 88670295.016.png 88670295.017.png 88670295.018.png 88670295.019.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Uko Ļ ne zginanie
Rysunek wy Ň ej pokazuje wykres momentów zginaj Ģ cy w płaszczy Ņ nie obci ĢŇ enia. W
utwierdzeniu moment ma warto Ļę M = 4.0 kNm a jego wektor b ħ d Ģ c prostopadły do
płaszczyzny obci ĢŇ enia nie jest równoległy do Ň adnej z głównych centralnych osi
bezwładno Ļ ci przekroju poprzecznego. Mamy do czynienia ze zginaniem uko Ļ nym
(dokładniej mówi Ģ c wraz ze Ļ cinaniem, ale napr ħŇ enie styczne, w tym przykładzie, nie s Ģ
przedmiotem naszego zainteresowania).
Składowe tego wektora (pokazane na rysunku) w osiach głównych centralnych maj Ģ warto Ļ ci:
M y
=
M
cos
a
=
4
.
*
0
.
9397
=
3
.
759
kNm,
M z
=
M
sin
a
=
4
*
0
3420
=
1
368
kNm.
Główne centralne momenty bezwładno Ļ ci wynosz Ģ :
J
y
=
12
*
24
3
12
=
13824
cm 4 ,
J
z
=
24
*
12
3
12
=
3456
cm 4 .
W przyj ħ tym układzie odniesienia i zwrotach momentów rozkład napr ħŇ e ı normalnych
okre Ļ la wzór:
M
y
M
3
.
759
*
10
3
1
.
368
*
10
3
s
=
z
−
z
y
=
z
−
y
=
2
.
72
*
10
7
z
−
3
.
96
*
10
7
y
x
J
J
13824
*
10
−
8
3456
*
10
−
8
y
z
Warto Ļ ci napr ħŇ e ı normalnych w naro Ň ach przekroju wynosz Ģ :
s
=
2
.
72
*
10
7
(
0
.
12
)
−
3
.
96
*
10
7
(
0
.
06
)
=
3
.
26
*
10
6
−
2
.
38
*
10
6
=
0
.
88
MPa
x
1
s
=
2
.
72
*
10
7
(
−
0
.
12
)
−
3
.
96
*
10
7
(
0
.
06
)
=
−
3
.
26
*
10
6
−
2
.
38
*
10
6
=
−
5
.
64
MPa
x
2
s
=
2
.
72
*
10
7
(
−
0
.
12
)
−
3
.
96
*
10
7
(
−
0
.
06
)
=
−
3
.
26
*
10
6
+
2
.
38
*
10
6
=
−
0
.
88
MPa
x
3
s
=
2
.
72
*
10
7
(
0
.
12
)
−
3
.
96
*
10
7
(
−
0
.
06
)
=
3
.
26
*
10
6
+
2
.
38
*
10
6
=
5
.
64
MPa
x
4
Równanie osi oboj ħ tnej:
s
x
=
0
®
2
.
72
*
10
7
z
−
3
.
96
*
10
7
y
=
0
®
z
=
1
.
456
y
.
O Ļ oboj ħ tna tworzy z osi Ģ Y k Ģ t 55°31’, wida ę jak wyra Ņ nie odchyla si ħ ona od wektora
momentu gn Ģ cego, który tworzy z osi Ģ Y k Ģ t 20°, w stron ħ głównej centralnej osi o
mniejszym momencie bezwładno Ļ ci.
Rysunki poni Ň ej pokazuj Ģ rozkład napr ħŇ e ı normalnych w przekroju utwierdzenia. Rysunek
po lewej, cz ħ sto nazywany jest brył Ģ napr ħŇ e ı , rysunek po prawej pokazuje rozkłady
napr ħŇ e ı na kraw ħ dziach przekroju, ale daje pełny obraz tego co si ħ dzieje wewn Ģ trz.
Z
0.88
s x
MPa
o Ļ oboj ħ tna
5.64
5.64
Z
o Ļ oboj ħ tna
0.88
Y
Y
55°31¢
0.88
5.64
0.88
5.64
173
88670295.020.png 88670295.021.png 88670295.022.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin