12. Ugięcia osi belek zginanych.pdf

(187 KB) Pobierz
Microsoft Word - 12ugiec.doc
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Ugi ħ cia osi belek zginanych
12. UGI Ħ CIA OSI BELEK ZGINANYCH
12.1. Równanie ró Ň niczkowe ugi ħ tej osi belki zginanej poprzecznie
W niniejszym rozdziale zajmiemy si ħ wyznaczeniem przemieszcze ı , inaczej ugi ħę , osi belek
zginanych poprzecznie wykonanych z materiału spełniaj Ģ cego równania fizyczne Hooke’a.
Rozwa Ň my wi ħ c dowoln Ģ naszkicowan Ģ na rys. 12.1, belk ħ zginan Ģ , której konfiguracj ħ
aktualn Ģ zaznaczono lini Ģ przerywan Ģ .
X
w(x)
w
j (x) » tg j (x) = w ’ (x)
Rys. 12.1
Krzywizna poszukiwanej funkcji ugi ħę spełnia znan Ģ z matematyki zale Ň no Ļę :
1
w
''
( )
x
=
.
(12.1)
( )
[
] 2
r
x
3
1
+
w
'
2
(
x
)
W mianowniku powy Ň szej zale Ň no Ļ ci mo Ň emy opu Ļ ci ę pierwsz Ģ pochodn Ģ funkcji ugi ħ cia,
gdy Ň zgodnie z przyj ħ tymi wcze Ļ niej zało Ň enia o małych przemieszczeniach i ich
pochodnych, jej warto Ļę b ħ dzie znikomo mała w porównaniu z jedno Ļ ci Ģ i wzór (11.1)
przyjmie posta ę :
1
=
w
''
( )
x
.
(12.2)
( )
r
x
Analizuj Ģ c zagadnienie poprzecznego zginania wyprowadzili Ļ my zwi Ģ zek wi ĢŇĢ cy krzywizn ħ
belki z momentem zginaj Ģ cych, który mo Ň emy zapisa ę w postaci:
1
=
M
y
EJ
( )
x
.
(12.3)
( )
r
x
y
Z równo Ļ ci lewych stron zale Ň no Ļ ci (12.2) oraz (12.3) wynika równanie:
( )
w
''
( )
x
=
M
y
x
.
(12.4)
EJ
y
Znaki bezwzgl ħ dnych warto Ļ ci w równaniu (12.4) b ħ dziemy mogli opu Ļ ci ę je Ļ li b ħ dziemy
znali znaki wyst ħ puj Ģ cych w nim wielko Ļ ci, a to zwi Ģ zane jest z układami współrz ħ dnych, w
których te wielko Ļ ci b ħ d Ģ wyznaczane.
X
w ’’ < 0
w
M y
M y > 0
152
88670287.049.png 88670287.060.png 88670287.062.png 88670287.063.png 88670287.001.png 88670287.002.png 88670287.003.png 88670287.004.png 88670287.005.png 88670287.006.png 88670287.007.png 88670287.008.png 88670287.009.png 88670287.010.png 88670287.011.png 88670287.012.png 88670287.013.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Ugi ħ cia osi belek zginanych
Rys. 12.2
Je Ļ li przyjmiemy układy pokazane na rys.12.2, to działaniu dodatniego momentu zginaj Ģ cego
( )
x
w , których druga pochodna jest ujemna
x
i w tych układach równanie (12.4) przyjmie form ħ :
w
''
( )
x
=
−
M
y
( )
x
,
(12.5)
EJ
y
gdzie: E - moduł Younga materiału belki, J y - moment bezwładno Ļ ci jej przekroju
poprzecznego wzgl ħ dem głównej centralnej osi bezwładno Ļ ci, do której równoległy jest
wektor momentu zginaj Ģ cego (tj. osi zginania). Iloczyn EJ y nazywany jest sztywno Ļ ci Ģ na
zginanie i nazwa ta dobrze oddaje jego sens fizyczny.
Wyznaczenie z równania (12.5) funkcji ( )
w przy znanym równaniu momentów zginaj Ģ cych
M y nie stanowi merytorycznych trudno Ļ ci.
W dalszej cz ħĻ ci tego rozdziału, dla uproszczenia zapisu równa ı , opu Ļ cimy indeksy „ y ”
zarówno przy funkcji momentu zginaj Ģ cego jak i momentu bezwładno Ļ ci wzgl ħ dem osi
zginania.
12.2. Metoda analityczna
Je Ļ li znana jest funkcja momentów okre Ļ lona jednym równaniem, (a tak zwykle jest, gdy Ň
funkcje momentów zazwyczaj zapisujemy w przedziałach charakterystycznych), wyznaczenie
funkcji ugi ħ cia jest bardzo proste, polega ono na dwukrotnym całkowaniu wzgl ħ dem x
równania (12.5). Po pierwszym całkowaniu otrzymujemy:
( )
x
w '
( )
x
= Ð
−
M
( )
x
dx
+
C
,
(12.6)
EJ
drugie całkowanie daje zale Ň no Ļę :
w
( )
x
= Ð Ð
Ê −
M
( )
x
dx
Ú
dx
+
Cx
+
D
,
(12.7)
EJ
w której C oraz D to stałe całkowania, które mo Ň emy wyznaczy ę z kinematycznych
warunków brzegowych.
Po wykonaniu całkowania i wyznaczeniu stałych całkowania otrzymujemy poszukiwan Ģ
funkcj ħ linii ugi ħ cia belki w rozwa Ň anym przedziale. Znamy te Ň jej pierwsz Ģ pochodn Ģ
okre Ļ lon Ģ równaniem (12.6), której interpretacj Ģ geometryczn Ģ jest tangens k Ģ ta zawartego
mi ħ dzy styczn Ģ do krzywej a dodatnim kierunkiem osi X (rys. 12.1). Poniewa Ň rozwa Ň amy,
zgodnie z przyj ħ tymi wcze Ļ niej zało Ň eniami, tylko małe przemieszczenia i małe ich pochodne
to ( )
w
'
x
= tg
j »
( ) ( )
x
j
x
. K Ģ t ( )
j w dalszych rozwa Ň aniach nazywa ę b ħ dziemy k Ģ tem
x
ugi ħ cia.
Wró ę my do stałych całkowania. W ka Ň dym przedziale charakterystycznym, w którym
zapisane jest równanie momentów, a potem wykonane całkowanie wyst Ģ pi Ģ dwie stałe
całkowania. Jak ju Ň wspomniano mo Ň emy je wyznaczy ę z kinematycznych warunków
brzegowych wynikaj Ģ cych z warunków podparcia belki (rys. 12.3),
X
w
'
=
0
w
' =
0
w
=
0
w
=
0
l w
w
w
=
0
l
w
=
0
p
w
'
l
=
w
153
M y (spody na dole belki) odpowiadaj Ģ ugi ħ cia ( )
x
w =
88670287.014.png 88670287.015.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Ugi ħ cia osi belek zginanych
Rys. 12.3
lub sposobu jej obci ĢŇ enia (rys. 12.4).
EJ
l
EJ
p
w
l
=
w
p
w
l
=
w
'
p
Rys. 12.4
Indeksy przy ugi ħ ciach i ich pochodnych w kinematycznych warunkach brzegowych na
rys. 12.3 oraz 12.4 informuj Ģ o przedziałach z lewej i prawej strony rozpatrywanego punktu.
Kinematyczne warunki brzegowe pokazane na rys. 12.4 nazywane te Ň bywaj Ģ „warunkami
zszycia” i w sensie fizyczny oznaczaj Ģ , Ň e w punkcie wspólnym dla obu przedziałów ugi ħ cie
i k Ģ t ugi ħ cia musz Ģ by ę ci Ģ głe. Warto w tym miejscu zwróci ę uwag ħ , Ň e przy rozwa Ň aniu
zagadnienia ugi ħę , punktami charakterystycznymi staj Ģ si ħ dodatkowo (w stosunku do
zagadnienia wyznaczania sił przekrojowych tj. momentów zginaj Ģ cych, sił poprzecznych i
podłu Ň nych) punkty, w których nast ħ puje skokowo zmiana sztywno Ļ ci na zginanie oraz
przeguby wewn ħ trzne w belce.
Tok post ħ powania przy wyznaczaniu ugi ħ cia i k Ģ tów ugi ħ cia poka Ň emy na kilku prostych
zadaniach. Zaczniemy od belki wspornikowej, pokazanej na rys. 12.5 o stałej sztywno Ļ ci na
zginanie EJ . W belce tej chcemy wyznaczy ę ugi ħ cie i k Ģ t ugi ħ cia jej ko ı ca K .
P
q
EJ
X
K
A
X
EJ
B
l
l
w
w
Rys. 12.5
Rys.12.6
Funkcj ħ momentów (przy spodach na dole belki) okre Ļ la równanie: M(x) = -P (l-x).
Równanie ró Ň niczkowe linii ugi ħ cia ma posta ę : EJ w ’’ (x) = P (l-x).
Całkuj Ģ c dwukrotnie otrzymujemy kolejno:
EJ w ’ (x) = -P (l-x) 2 /2 + C,
EJ w(x) = P (l-x) 3 /6 + Cx + D.
Kinematyczne warunki brzegowe:
1
/
w
( )
( )
=
0
Ê
−
P
l
2
2
+
C
=
0
C
=
P
l
2
2
®
Ë
®
2
/
w
0
=
0
P
l
3
6
+
D
=
0
D
=
−
P
l
3
6
Ì
Równanie k Ģ tów ugi ħ cia: ( )
w
'
x
=
−
P
( )
−
x
2
2
+
P
l
2
2
] EJ
.
Równanie linii ugi ħ cia: ( ) ( )
w
x
=
[
P
l
−
x
3
6
+
P
l
2
x
2
−
P
l
3
6
] EJ
.
154
'
'
0
[
l
88670287.016.png 88670287.017.png 88670287.018.png 88670287.019.png 88670287.020.png 88670287.021.png 88670287.022.png 88670287.023.png 88670287.024.png 88670287.025.png 88670287.026.png 88670287.027.png 88670287.028.png
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Ugi ħ cia osi belek zginanych
St Ģ d k Ģ t ugi ħ cia i ugi ħ cie ko ı ca wspornika wynosi:
j
=
w
'
( )
l
=
P
l
2
2
EJ
,
w K
=
w
( )
l
=
P
l
3
3
EJ
.
K
W wolnopodpartej belce pokazanej na rys. 12.6, wyznaczymy maksymalne ugi ħ cie i k Ģ ty
ugi ħ cia na podporach.
Funkcja momentów (przy spodach na dole belki): M(x) = ql x/ 2 – q x 2 / 2 .
Równanie ró Ň niczkowe linii ugi ħ cia ma posta ę : EJ w ’’ (x) = q x 2 /2 – ql x /2 .
Całkuj Ģ c dwukrotnie otrzymujemy kolejno:
EJ w ’ (x) = q x 3 /6 - ql x 2 /4 + C,
EJ w(x) = = q x 4 /24 - ql x 3 /12 + Cx + D.
Kinematyczne warunki brzegowe:
1
/
w
( )
( )
=
0
®
Ê
D
=
0
®
D
=
0
2
/
w
l
=
0
q
l
4
24
−
q
l
4
12
+
C
l
=
0
C
=
q
l
3
24
Równanie k Ģ tów ugi ħ cia: ( ) [
w
'
x
=
q
x
3
6
−
ql
x
2
4
+
ql
3
24
] EJ
.
Równanie linii ugi ħ cia: ( ) [
w
x
=
q
x
4
24
−
ql
x
3
12
+
ql
3
x
24
] EJ
.
K Ģ ty ugi ħ cia na podporach wynosz Ģ :
j
=
w
'
( )
0
=
q
l
3
24
EJ
,
j
=
w
'
( )
l
=
−
q
l
3
24
EJ
.
A
B
Maksymalne (ekstremalne) ugi ħ cie wyst Ģ pi w tym punkcie przedziału gdzie zeruje si ħ
pierwsza pochodna funkcji ugi ħ cia, czyli tam, gdzie zeruje si ħ k Ģ t ugi ħ cia. W analizowanym
przykładzie b ħ dzie to:
w
'
( )
=
0
®
q
x
3
6
−
ql
x
2
4
+
ql
3
24
=
0
®
x
=
l
2
,
max w = ( )
w
l
2
=
5
q
l
4
384
EJ
.
Tok post ħ powania w przypadku wi ħ kszej ni Ň jeden ilo Ļ ci przedziałów całkowania nie
zmienia si ħ zasadniczo. Zwi ħ ksza si ħ liczba stałych całkowania oraz liczba kinematycznych
warunków brzegowych.
Wyznaczmy ugi ħ cie i k Ģ t w Ļ rodku rozpi ħ to Ļ ci belki wolnopodpartej pokazanej na rys. 12.7.
P
P
EJ
2EJ
EJ
X 1
K
X 2
X
K
l/2
l/2
l/2
l/2
w 2
w 1
w 1 , w 2
155
0
x
88670287.029.png 88670287.030.png 88670287.031.png 88670287.032.png 88670287.033.png 88670287.034.png 88670287.035.png 88670287.036.png 88670287.037.png 88670287.038.png 88670287.039.png 88670287.040.png
 
Adam Bodnar: Wytrzymało Ļę Materiałów. Ugi ħ cia osi belek zginanych
Rys. 12.7
Rys.12.8
Zadanie rozwi ĢŇ emy przyjmuj Ģ c dwa układy współrz ħ dnych (rys. 12.7). Równania
momentów, równania ró Ň niczkowe linii ugi ħ cia i dalsze po dwukrotnym całkowaniu,
zestawione s Ģ ni Ň ej.
0 1 l
<
x <
2
0 2 l
<
x <
2
M
1
( )
x
1
=
P
x
1
2
M
2
( )
2
=
P
x
2
2
EJ
w
'
1
( )
x
1
=
−
P
x
1
2
EJ
w
'
2
( )
x
2
=
−
P
x
2
2
EJ
w
'
1
( )
x
1
=
−
P
x
2
1
4 C
+
1
EJ
w
'
2
( )
x
2
=
−
P
x
2
2
4 C
+
2
EJ
w
1
( )
x
1
=
−
P
x
3
1
12
+
C
1
x
1
+
D
1
EJ
w
2
( )
x
2
=
−
P
x
3
2
12
+
C
2
x
2
+
D
2
Kinematyczne warunki brzegowe:
1
/
w
1
( )
( )
0
=
0
( )
Ê
D
1
=
0
Í
Ë
2
/
w
1
l
2
=
w
2
l
2
−
P
l
3
96
+
C
l
2
+
D
=
−
P
l
3
96
+
C
l
2
+
D
D
=
D
=
0
1
1
2
2
1
2
®
®
( )
( )
3
/
w
'
1
l
2
=
−
w
'
2
l
2
−
P
l
2
16
+
C
=
P
l
2
16
−
C
C
=
C
=
Pl
2
16
Í
Ì
1
2
1
2
4
/
w
2
( )
0
=
0
Í
D
2
=
0
Ujemny znak w trzecim kinematycznym warunku brzegowym jest konsekwencj Ģ ró Ň nej
skr ħ tno Ļ ci przyj ħ tych układów współrz ħ dnych.
Ugi ħ cie i k Ģ t ugi ħ cia w Ļ rodku rozpi ħ to Ļ ci belki wynosz Ģ :
( )
=
w
l
2
=
P
l
3
48
EJ
,
j
= l
w
'
( ) 0
2
=
.
1
W zako ı czeniu prostych zada ı wyznaczymy ugi ħ cie ko ı ca wspornika o skokowej zmiennej
sztywno Ļ ci na zginanie pokazanego na rys. 12.8.
0
<
x <
l
2
l
2
<
x
<
l
M
1
( )
x
=
−
P
( )
−
x
M
2
( )
=
−
P
( )
l
−
x
2
EJ
w
'
1
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
EJ
w
'
2
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
2
EJ
w
'
1
( )
x
=
−
P
( )
l
−
x
2
2
+
C
EJ
w
'
2
( )
x
=
−
P
( )
l
−
x
2
2 C
+
1
2
2
EJ
w
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
3
6
+
C
x
+
D
EJ
w
( ) ( )
x
=
P
l
−
x
3
6
+
C
x
+
D
1
1
1
2
2
2
Kinematyczne warunki brzegowe:
156
x
w K
l
x
88670287.041.png 88670287.042.png 88670287.043.png 88670287.044.png 88670287.045.png 88670287.046.png 88670287.047.png 88670287.048.png 88670287.050.png 88670287.051.png 88670287.052.png 88670287.053.png 88670287.054.png 88670287.055.png 88670287.056.png 88670287.057.png 88670287.058.png 88670287.059.png 88670287.061.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin