Programowanie liniowe
Zastosowanie nierówności liniowych do rozwiązywania zagadnień ekonomicznych
Programowanie liniowe jest przede wszystkim ilustracją zastosowań równań i nierówności liniowych oraz ich układów do modelowania i rozwiązywania problemów rzeczywistych, przede wszystkim w ekonomii.
Zadanie:
Pewien zakład krawiecki przygotowuje na karnawał suknie wieczorowe długie i krótkie. Uszycie sukni długiej wymaga 3 godziny pracy krawcowej A i 1 godzinę pracy krawcowej B. Uszycie sukienki krótkiej wymaga 2 godziny pracy krawcowej A i 1 godzinę pracy krawcowej B.W ciągu miesiąca krawcowa A może pracować co najwyżej 120 godzin, a krawcowa B 50 godzin. Zakład zarabia na sukience długiej 200 zł, a na krótkiej 150 zł. Ile długich, a ile krótkich sukienek powinien uszyć w ciągu miesiąca aby osiągnąć maksymalny zysk? Ile wyniesie ten zysk?
x - ilość sukni długich
y - ilość sukni krótkich
Układ warunków:
x, y ≥ 0 i x, y Є C3x + 2y ≤ 120 (czas pracy krawcowej A)x + y ≤ 50 (czas pracy krawcowej B)
Po uproszczeniu układ jest równoważny następującemu układowi:
x, y ≥ 0 i x, y Є Cy ≤ -1,5 x + 60y ≤ -x + 50
Zysk zależy od ilości uszytych sukni długich i krótkich.
wzór „funkcji zysku”.
Z(x,y) = 200x + 150y
wykres układu nierówności
Jeżeli obszar możliwych wyników rozwiązań jest ograniczony, to „funkcja zysku” przyjmuje w tym obszarze największą i najmniejszą w pewnych punktach wierzchołkowych.
Optymalną liczbę sukni określają współrzędne punktu (20, 30).Zysk maksymalny wynosi
Z (20, 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 8 500
elewi