Temat: Zaprojektować przekrój belki pokazanej na rysunku 1na maksymalna wartość momentu zginającego. Dopuszczalne naprężenie kg = 140 MPa. Wykonać wykres momentu zginającego i sił poprzecznych oraz wykres rozkładu naprężeń normalnych wzdłuż wys. przekroju.
Dane :
P = 40 kN
M = 60 kNm
k = 0,3B
h = 0,6H
H = 2B
Rysunek 1
Rysunek 2- przekrój poprzeczny belki
Rysunek 3 – uwolnienie układu od więzów
Rozwiązanie:
Aby prawidłowo rozwiązać dane zadanie musimy wprowadzić układ współrzędnych XY uwolnić prawidłowo układ od więzów.
W celu wyznaczenia reakcji pionowej w punkcie A bierzemy sumę momentów względem punktu A. Zwrot reakcji Ra zakładamy do góry. Ponieważ belka jest utwierdzona musi działać moment utwierdzenia w punkcie A; zakładamy że moment Ma działa w dół.
Wtedy:
∑MA = -Ma –P • 2m +M = 0
Skąd
Ma = M- P • 2m
Podstawiamy dane i otrzymujemy wartość momentu utwierdzenia belki w punkcie A
Ma = 60 kNm – 40 kN • 2m = - 20 kNm
Wykorzystując sumę rzutów sił na oś OY otrzymamy
∑Py = Ra + P = 0
Ra = -P
Znak ujemny pokazuje, ze rzeczywisty zwrot reakcji Ra jest przeciwny niż założyliśmy
Wydzielamy w belce dwa przedziały.
1) Pierwszy przedział będzie się zmieniał
0 ≤ x1 ≤ 2 m
Ogólne równanie momentów dla pierwszego przedziału ma postać
Mg1 =-Ma +Ra • x1
Dla
Mg1(0) = -Ma +Ra • 0 => Mg1(0) = 20kNm
Mg1(2m) = -Ma +Ra • 2m => Mg1(2m) = 20 kNm +(- 40kN) 2m = -60kNm
Siłami poprzecznymi występujacymi w układzie są siły tnące i dla pierwszego przedziału wynasza:
T1(x1) = Ra
T1 (0)= -P => -40 kN
T1 (2m)= -P => -40 kN
Odcięta dla której moment gnący jest równy zeru, oliczamy z warunku
Mg1 =0 ó -Ma +Ra • x1=0
x0 = Ma/(-P)
x0 = -20 kNm/-40kN
x0 = 1/2m
2) Drugi przedział będzie się zmieniał
2m ≤ x2 ≤ 4 m
Ogólne równanie momentów dla drugiego przedziału będzie miało postać
Mg2 =-Ma +Ra • x2 + P(x2 – 2m)
dla
M g2(2m) = -Ma + Ra • 2m => Mg2(2m) = 20 kNm +(- 40kN) •2m = -60kNm
M g2(4m) = -Ma + Ra • 4m + P(4m – 2m)
=> M g2(4m) =20 kNm+(- 40kN) •4m + 40kN •2m = -60 kNm
Siła tnąca dla drugiego przedziału
T2(x2) = Ra + P = -P +P = 0
Mając potrzebne dane możemy narysować wykres sił poprzecznych i wykres momentu zginającego
Rysunek 4 - wykres sił poprzecznych i wykres momentu zginającego
Rysunek 4 - wykres rozkładu naprężeń normalnych wzdłuż wys. przekroju.
W celu dobrania wymiarów belki do maksymalnej wartości momentu zginającego posłużymy się wzorami
σg =Mg / Wg ≤ kg
gdzie
Mg – wartość momentu gnącego
Wg – wskaźnik wytrzymałości na zginanie
kg – wartość dopuszczalnego naprężenia
Do obliczeń wymiarów belki posługujemy się wartościami maksymalnymi i wzór przyjmuje postać
σg max =Mg max / Wg ≤ kg
Mg max = 60kNm
Wg dla przekroju T Wg=HB3+hk3/6B
kg = 140 MPa
σg max = 6B • Mg max/ HB3+hk3 ≤ kg
σg max = 6•2B • Mg max/ 2B •B3+0,6•2B 0,3B 3 ≤ kg
6•2B • Mg max/ 2B •B3+0,6•2B 0,3B 3 ≤ kg
2B •B3+0,6•2B 0,3B 3 ≥ 6•2B • Mg max/ kg dzielimy przez B
2 B3+0,6• 0,6 B 3 ≥ 12 • Mg max/ kg
2,36B3 ≥ 12 • Mg max/ kg
B≥ 130mm => H=260mm ; h=156mm ; k=39mm
Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica
WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
Projekt Nr 2
Wykonał:
Paweł Kryś
Gr 7
Rzulu5