wstęp teoretyczny.doc

Sformułowanie problemu

Dane są węzły interpolacyjne , parami różne tzn. . Dane są wartości funkcji interpolowanej w węzłach gdzie . Zadanie interpolacji polega na znalezieniu wielomianu stopnia co najwyżej n, by wartości tego wielomianu i funkcji interpolowanej w węzłach były sobie równe czyli

                                                                                                                              [1]

Twierdzenie 1.

Zadanie interpolacji wielomianowej posiada jednoznaczne rozwiązanie, czyli istnieje tylko jeden wielomian spełniający warunek [1].

              Szukany wielomian ma postać:

              .                                                                                                                [2]

Wzór [2] nosi nazwę wzoru Lagrange’a.

Wielomian w postaci wzoru Lagrange’a jest niewygodny zarówno do wyznaczania jego wartości w dowolnym punkcie (stosuje się wzór Aitkena) jak i jego całkowania bądź różniczkowania. Częściej wielomian interpolacyjny określa się w postaci wzoru Newtona przy czym obydwa wzory są sobie równoważne ponieważ, zgodnie z twierdzeniem 1, istnieje tylko jeden wielomian interpolacyjny dla węzłów .

Wzór Newtona dla węzłów dowolnych ma postać

Twierdzenie Czebyszewa

Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie:

Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n zawsze istnieje co

najmniej jedna liczba pierwsza.