STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE PRZYPADKI
ZGINANIA BELEK
Jednokrotnie statycznie niewyznaczalny przykład zginania belki
Rozpatrzmy belkę utwierdzoną w jednym końcu i swobodnie podpartą na drugim, obciążoną w środku siłą P. W odróżnieniu od analizowanych dotychczas statycznie wyznaczalnych przypadków zginania, do wyznaczenia mamy tu cztery reakcje więzów, a dysponujemy tylko trzema równaniami statyki. Zadanie jest więc jednokrotnie statycznie niewyznaczalne. Oprócz równań statyki będziemy więc musieli wykorzystać warunek wynikający z odkształceń. Zastosujemy metodę superpozycji. Gdyby lewy koniec belki nie był utwierdzony, lecz swobodnie podparty (MA = 0), wówczas kąt ugięcia θA na podporze wynosiłby =-Pl2/(16EJ). Gdyby działał tylko moment MA , wówczas = MAl/(3EJ). Ponieważ na podporze A belka jest utwierdzona, sumaryczny kąt ugięcia musi być równy zeru, zatem
Statycznie niewyznaczalne przypadki zginania belek
Z rysunku c i d widać, że reakcje podporowe wynoszą:
Wykres momentów gnących otrzymujemy jako różnicę dodatniego wykresu momentów gnących od siły P (a więc trójkąta o wysokości Pl) oraz ujemnego wykresu od momentu MA (trójkąt o wysokości MA = Pl, narysowany również do góry, przez co ułatwione jest odejmowanie odpowiednich pól).
Przykład powyższy można również rozwiązać innym sposobem. Gdyby nie było podpory B, wówczas ugięcie w środku belki wynosiłoby f1= P(l)3 /(3EJ),a kąt nachylenia θ = P(l)2/(2EJ). Ugięcie swobodnego końca B belki utwierdzonej na końcu A i obciążonej w środku siłą P wynosiłoby
Ugięcie to jest likwidowane przez reakcję RB, która działając na koniec belki wspornikowej daje strzałkę ugięcia fB= —RBl3/(3EJ) (ugięcie do góry), zatem
Stąd Rb = P.
Moment utwierdzenia wynosiłby
MA=Pl-RBl=Pl-Pl=Pl.
Ten sposób rozwiązania przy użyciu gotowych wzorów i wykorzystaniu metody superpozycji zastosujemy do belki o przekroju zmiennym, przedstawionej na rys. Gdyby nie działała reakcja RB, swobodny wówczas koniec B belki obciążonej siłą P obniżyłby się o strzałkę fB1 będącą sumą przemieszczenia fC1 punktu C oraz dodatkowego przemieszczenia końca B wynikającego z faktu, że w przekroju C kąt obrotu belki wynosi θC1; to dodatkowe przemieszczenie wynosi więc bθC1.
Jednokrotnie statycznie niewyznaczalny przypadek zginania belki o przekroju zmiennym
Korzystając ze podanych wzorów , piszemy
zatem
W układzie zasadniczym, przedstawionym na rys. strzałka ugięcia w punkcie B jest równa zeru, zatem wartość liczbowa reakcji RB musi być tak duża, aby strzałka ugięcia fB2 wywołana działaniem reakcji RB (na belkę nie obciążoną siłą P) była równa fB1. Zgodnie z oznaczeniami podanymi na rys. ugięcie belki w punkcie C wynosi
a kąt obrotu przekroju C
Z porównania wzorów (a) i (b) znajdujemy
Dwukrotnie statycznie niewyznaczalny przykład zginania belki
Belka utwierdzona w obu końcach, przedstawiona na rysunku jest przykładem ustroju dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego, gdyż do wyznaczenia mamy pięć reakcji więzów a dysponujemy jedynie trzema równaniami statyki. Zadanie można rozwiązać korzystając z wzorów, stosując metodę superpozycji. Układ zasadniczy przedstawiony na rys. jest superpozycją trzech stanów przedstawionych na rys. d i e. Dla układów tych piszemy kolejno:
Dwukrotnie statycznie niewyznaczalny przypadek zginania belki
Ponieważ końce belki rzeczywistej nie mogą się obracać, sumaryczne kąty odchylenia tych końców muszą być równe zeru, zatem:
Stąd znajdujemy
Możemy teraz sporządzić wykres momentów gnących a następnie (lub uprzednio) wyznaczyć reakcje podporowe:
wykonać wykres sił tnących
Obliczanie ram
Stosowane w technice ustroje prętowe dzielimy na mechanizmy i konstrukcje, a te z kolei na ramy i kratownice. Pod działaniem sił zewnętrznych mechanizmy wykonują określone ruchy i w tym celu pręty łączone są ze sobą przegubami, wykonywanymi możliwie starannie, w celu zmniejszenia oporów tarcia.
Klasyfikacja ustrojów prętowych: a) mechanizm, b) rama, c) kratownica
Konstrukcje mają za zadanie pozostawać w spoczynku pod działaniem sił (czyli przenosić obciążenia). Konstrukcje prętowe dzielimy —jak wspomniano na — ramy i kratownice. Te dwa typy konstrukcji zewnętrznie mogą się niczym nie różnić, w obu przypadkach węzły mogą być identyczne, na przykład spawane z zastosowaniem blach węzłowych. Jeżeli (w myśli) zastąpimy węzły przegubami i układ prętowy mimo to pozostanie konstrukcją (tzn. nie stanie się mechanizmem), to taki ustrój nazywamy kratownicą. Gdybyśmy w danej konstrukcji węzły zastąpili (w myśli) przegubami i otrzymalibyśmy wówczas mechanizm, to taką konstrukcję prętową nazywamy ramą. O sztywności ramy decyduje więc sztywność węzłów. W konstrukcjach ramowych obciążenia powodują głównie zginanie prętów, w kratownicach — głównie rozciąganie lub ściskanie. Można nadmienić, że zgodnie z zasadami omawianymi w kursie statyki, kratownice mogą być obciążane wyłącznie siłami działającymi na węzły kratownicy, natomiast w ramach obciążenia mogą być przykładane również i na długości prętów.
Rozpatrzmy ramę składającą się z dwóch prętów o jednakowej sztywności na zginanie EJ, połączonych sztywno w węźle C. Pod obciążeniem siłą P pręt AC się wygina, a węzeł C obraca się o kąt θ, przy czym styczne do osi prętów w węźle C tworzą nadal kąt prosty.
Przykład obliczania ramy
Reakcje podporowe w przegubach A i B rozkładamy na dwie składowe. Z równania rzutów na oś poziomą sił działających na ramę wynika, że składowe poziome tych reakcji są sobie równe i oznaczamy je H. Mamy więc trzy niewiadome:
H, RA i RB, a do dyspozycji pozostały nam tylko dwa równania równowagi, na przykład suma rzutów na oś pionową suma momentów względem punktu A, z których otrzymujemy
Rama pokazana na rysunku jest więc układem jednokrotnie zewnętrznie statycznie niewyznaczalnym' i brakujące równanie otrzymać możemy z warunków (z rozpatrzenia, z porównania) odkształceń.
W przypadku rozpatrywanej ramy warunek odkształceń wynika z faktu, że węzeł C jest sztywny, a więc prawy koniec rygla (pręta) AC obraca się o kąt θ, równy kątowi obrotu górnego końca słupa (pręta) BC. Aby wyznaczyć wartości liczbowe tych kątów, rozcinamy (w myśli) ramę w węźle C i oddziaływanie jednej części na drugą zastępujemy reakcją o dwóch składowych Rc i H oraz parą sił o momencie Mc ; z równania rzutów dla rygla AC składowa pozioma reakcji w węźle C jest równa H).
Dla rygla AC kąt ugięcia θ, zgodnie z wzorami, wynosi
natomiast dla słupa BC
Z porównania obu powyższych wzorów znajdujemy
Z równania momentów względem punktu C dla słupa BC otrzymujemy
a następnie z równań (a) możemy wyznaczyć pozostałe reakcje: RA i RB, co umożliwia sporządzenie dla prętów ramy wykresów sił wewnętrznych, tj. sił normalnych N, sił tnących T i momentów gnących Mg. Wykres momentów gnących pokazano na rysunku. Na wykresie tym momenty gnące powodujące ściskanie zewnętrznych włókien ramy oznaczono jako dodatnie.
W statyce ram i kratownic mogą się zdarzyć układy zewnętrznie statycznie niewyznaczalne i wewnętrznie statycznie niewyznaczalne. Tak więc rama pokazana na rysunku jest układem jednokrotnie zewnętrznie statycznie niewyznaczalnym, natomiast — dla przykładu — rama pokazana jest układem zewnętrznie statycznie wyznaczalnym oraz wewnętrznie jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym.
Omówiona wyżej metoda obliczania ram opiera się na wykorzystaniu linii ugięcia belek i zastosowaniu metody superpozycji. Obliczanie ram bardziej złożonych, jak również składających się z prętów zakrzywionych, przeprowadza się na ogół za pomocą metod energetycznych.
Belki na trzech podporach
Belka spoczywająca na trzech podporach, przedstawiona na rys. jest układem jednokrotnie statycznie niewyznaczalnym. Z uwagi na symetrię układu reakcje Rt na podporach skrajnych są jednakowe, z równań statyki mamy więc tylko jeden warunek: 2R1 + RB = 2qa. Za wielkość statycznie niewyznaczalną przyjmujemy reakcję ...
Freakout