Rozwiązania zadań: 1, 2, 3, 4, 6
Zadanie 1
a) p- pada deszcz, q- na dworze jest mokro
Sch Z: p ® q
Sch Z1: ~q ® ~p
Z1: Jeśli na dworze nie jest mokro, to nie pada deszcz.
Uzasadnienie:
Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia o postaci: Z1 « Z.
Należy zatem uzasadnić to, że prawem logicznym jest wyrażenie:
(~q ® ~p) « (p ® q). Podane wyrażenie jest prawem logicznym, ze względu na prawo transpozycji:(p ® q) « (~q ® ~p) oraz fakt przemienności spójnika równoważności.
Sch Z2: q Ú ~p
Z2: Na dworze jest mokro lub nie pada deszcz.
Weźmy pod uwagę prawo wzajemnej definiowalności spójników logicznych: (pÚ q) « (~p® q). Stosując do niego podstawienia: p/q, q/~p otrzymujemy zatem jako prawo logiczne wyrażenie: (q Ú ~p) « (~q ® ~p). Zdanie Z2 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z1, ale skoro Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z, zatem Z2 jest również równoważne logicznie ze zdaniem Z.
Sch Z3: ~(p Ù ~q)
Z3: Nieprawda, że zarazem pada deszcz i na dworze nie jest mokro.
Wykażemy w tabelce, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia postaci: Z3 « Z.
p q p®q ~q pÙ~q ~( pÙ~q) ~( pÙ~q) « (p®q)
0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 1 0 0 1 1
Zdanie Z3 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z.
b) p- norma prawna jest zakazująca, q- norma prawna jest dozwalająca.
Sch Z: p « ~q
Sch Z1: p ® ~q
Z1: Jeśli norma prawna jest zakazująca, to nie jest dozwalająca.
Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat wyrażenia: Z ® Z1, i jednocześnie nie jest prawem logicznym schemat wyrażenia postaci: Z1 ® Z.
Wykazanie metodą nie-wprost: (p « ~q) ® (p ® ~q)
1 1 1 1
1 0 1 0
1¹0 0
0¹1
Do sprawdzenia było wartościowanie: v(p)=1, v(q)=1. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem o fałszywości całości, zatem sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym. W związku z tym zdanie Z1 wynika logicznie ze zdania Z.
(p ® ~q) ® (p « ~q)
0 0 0 0
0 1 0 1
lub
1 1
1 0
0
Z założenia o fałszywości następnika głównej implikacji mamy do sprawdzenia wartościowania: 1) v(p)=0, v(q)=0, 2) v(p)=1, v(q)=1. Dla pierwszego z podanych wartościowań całość jest fałszywa, zatem sprawdzana funkcja zdaniowa nie jest tautologią. Ze zdania Z1 nie wynika logicznie zdanie Z.
Sch Z2: ~q ® p
Z2: Jeśli norma prawna nie jest dozwalająca, to jest zakazująca.
Sprawdzenie w tabelce:
p q ~q p«~q ~q®p (p«~q)®(~q®p) (p«~q)«(~q®p)
0 0 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 0
Zgodnie z przedostatnią kolumną tabelki ze zdania Z wynika logicznie zdanie Z2, a zgodnie z ostatnią kolumną tabeli zdania te nie są wzajemnie równoważne logicznie.
.
c) p- pojęcie normy prawnej jest tym samym, co pojęcie przepisu prawnego.
q- pojęcia normy prawnej i przepisu prawnego są często utożsamiane
r- znaczenia pojęć normy prawnej i przepisu prawnego są podobne
s- na jedną normę prawną może się składać parę przepisów prawnych
Sch Z: ~p
Sch Z1: ~p Ù q
Sch Z2: ~p Ù r
Sch Z3: s Ù (s®~p)
Zdanie Z1: Pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego, ale pojęcia normy prawnej i przepisu prawnego są często utożsamiane.
Należy wykazać, że prawem logicznym jest schemat implikacji: Z1® Z, i że schemat implikacji: Z® Z1 nie jest prawem logicznym.
Na podstawie jednego z praw pochłaniania dla koniunkcji: (p Ù q) ® p, wnioskujemy, że prawem logicznym jest wyrażenie implikacyjne: (~p Ù q) ® ~p (otrzymujemy je z podanego prawa pochłaniania po podstawieniu: p/~p). Z kolei implikacja odwrotna, czyli wyrażenie: ~p ® (~p Ù q), nie jest prawem logicznym, ponieważ dla v(p)=0 i v(q) = 0 z podanej funkcji zdaniowej otrzymamy zdanie fałszywe ( ~0 ® (~0 Ù 0) = 1 ® (1 Ù 0) = 1® 0 = 0 ).
Z2: Pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego, ale
znaczenia pojęć normy prawnej i przepisu prawnego są podobne.
Funkcję zdaniową: (~p Ù r) ® ~p, otrzymujemy jak poprzednio z prawa pochłaniania dla koniunkcji: (p Ù q) ® p, tym razem po podstawieniach: p/ ~p, q/r. Jest ona zatem prawem logicznym. Implikacja w drugą stronę, czyli ~p ® (~p Ù r), nie jest prawem logicznym. Dla v(p)=0 , v(r)=0 otrzymujemy bowiem: ~0 ® (~0 Ù 0) = 1 ® (1 Ù 0) = 1® 0 = 0.
Z3: Na jedną normę prawną może się składać parę przepisów prawnych a jeśli na jedną normę prawną może się składać pare przepisów prawnych, to pojęcie normy prawnej nie jest tym samym co pojęcie przepisu prawnego.
Sprawdzenie metodą nie-wprost:
[s Ù (s®~p)] ®~p
1 1 0 0
1 1¹0 0
0 ¹1
Sprawdzana funkcja zdaniowa jest prawem logicznym, a więc ze zdania Z3 wynika logicznie zdanie Z.
~p ® [s Ù (s®~p)]
1 0 0 1
1 0 1
Powyższa funkcja zdaniowa nie jest prawem logicznym, zatem ze zdania Z nie wynika logicznie zdanie Z3, a to z kolei prowadzi do wniosku, że zdania Z i Z3 nie są parą zdań równoważnych logicznie.
d) p- Kasia jest starsza od Ani, q- Kasia jest znajomą Ani, r- Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych
Sch Z: p® (q® ~ r)
Sch Z1: (pÙ q)® ~ r
Sch Z2: r ® (~pÚ ~q)
Z1: Jeśli Kasia jest starsza od Ani i Kasia jest znajomą Ani, to Ania nie jest starsza od
wszystkich swoich znajomych.
Należy wykazać, że prawem logicznym jest wyrażenie: [(pÙ q)® ~ r] «[p® (q® ~ r)]. Wyrażenie to otrzymujemy z prawa eksportacji i importacji: [(pÙ q)® r] «[p® (q®r)] po zastosowaniu reguły podstawiania: r/ ~r, zatem rzeczywiście jest prawem logicznym.
Z2: Jeśli Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych, to albo Kasia nie jest starsza od
Ani albo Kasia nie jest znajomą Ani.
Na podstawie prawa transpozycji: (p ® q) « (~q ® ~p), prawem logicznym jest również funkcja zdaniowa:[(pÙ q)® ~r] « [ r ® ~(pÙ q)], ponieważ otrzymujemy ją z prawa transpozycji po dokonaniu podstawień: p/(pÙ q), q/~r. Na podstawie I prawa De Morgana: ~(p Ù q) « (~p Ú ~q) wyrażenie: ~pÚ ~q, jest równoważne logicznie z wyrażeniem: ~(p Ù q). Zatem prawem logicznym jest w konsekwencji wyrażenie: [(pÙ q)® ~r] « [r® (~p Ú ~q)]. Zdanie Z2 jest zatem równoważne logicznie ze zdaniem Z1, a ze względu na równoważność logiczną Z1 z Z, wnioskujemy, że Z2 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z.
e) p- Paweł dopuścił się czynu przestępczego, q- udowodnią Pawłowi winę.
Sch Z: pÙ ~q
Sch Z1: ~(pÙ ~q)
Sch Z2: p®q
Sch Z3: ~pÚ q
Z1:Nieprawda, że zarazem Paweł dopuścił się czynu przestępczego i nie udowodnią mu winy
Z2: Jeśli Paweł dopuścił się czynu przestępczego, to udowodnią mu winę.
Z3: Paweł nie dopuścił się czynu przestępczego lub udowodnią mu winę.
Uzasadnienia:
Z1 otrzymaliśmy przez zanegowanie zdania Z, a negacja zdania jest zawsze jędną z form jego zaprzeczenia.
Jednym z praw wzajemnej definiowalności spójników logicznych jest wyrażenie: (p®q) « ~(pÙ ~q). Skoro lewa strona tego wyrażenia jest schematem zdania Z2, a prawa- schematem negacji zdania Z, więc zgodnie z definicją zdanie Z2 jest zaprzeczeniem zdania Z.
Stosując regułę podstawiania (z podstawieniem: q/~q) do pierwszego prawa De Morgana: ~(p Ù q) « (~p Ú ~q), otrzymujemy jako prawo logiczne wyrażenie:~(p Ù ~q) « (~p Ú q), które świadczy o tym, że zdanie Z3 jest zaprzeczeniem zdania Z (ponieważ schemat wyrażenia postaci: Z3« ~Z, jest prawem logicznym).
f) p- pójdę do kina, q- pójdę do teatru.
Sch Z: ~(p Ú q)
...
estejra