funkcja liniowa.pdf

4, FUNKCJA LINIOWA

CZĘŚĆ TEORETYCZNA

FUNKCJA LINIOWA f{x) ^ ax + h

^ Gdy a > O, to funkcja jest rosnąca, gdy n < O, to funkcja jest maJejąca, gdy a = 0, to funkcja jest stała,

WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ / U) = ax + b

^ Wykresem funkcji/jest prosta o równaniu y-ax + &. W szczególności

• gdy (3-0, to prosta jest równoległa do osi 0X,

• gdy f> = O, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

^ Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunlcowym prostej o równaniu _v - ax + b.

efy a- Iga, gdzie a jest kątem nachylenia wykresu funkcji / do osi 0X.

^ Równanie prostej przechodzącej przez punkty A - (.T^, >'^) i B =• {XB, ysY- iy -yA)i-iB ~ -^A) = (ys - J^)U^ i"^)-

METODY ROZWIĄZYWNIA UKŁADÓW DWÓCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Z DWIEMA NIEWIADOMYMI

Rozwiązać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, to znaczy znaleźć wszystkie pary liczb, które spełniają zarówno

pierwsze, jak 1 drugie równanie.

^ Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej z jednego z równań i podstawienia jej do drugiego równa

nia, dzięki czemu otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

"• Metoda przeciwnych współczynników polega na pomnożeniu obu stron jednego z równań przez taką liczbę (lub obu stron

każdego z równań przez takie liczby), że po dodaniu obu równań stronami jedna z niewiadomych zredukuje się i otrzymamy

równanie z jedną niewiadomą.

Przy zastosowaniu każdej z powyższych metod, po znalezieniu jednej z szukanych liczb, drugą znajdziemy podstawiając tę

znalezioną do jednego z równań układu.

ZADANIA WPROWADZAJĄCE

Zdający potrafi

• sporządzać wykres funkcji liniowej

4.1 W Naszkicuj wykres funłccji/ a)/U) =-Y;

b) f{x) = -x;

c)/(x) = 2;

<i) f(x) = 0,5x-U

e) /(x)—2.^ + 2;

f) /U) = 2x+1, gdzie.^e <-2; 1);

g) /W- _x^ dlarO"

dlaj->3

4.2 R Naszkicuj wykres funłccji / a)/(x) = |.v|;

b)/(.v) = | l.x:|-11;

c) f(x) = \x-\\+l;

ń) f(x) = \x-l\+x;

e) /(jc)::^|,r-l 1 + 1x1;

t) f(x) = ^lx^ -2x + l-\x\.

Zdający potrafi

podawać Wzór funkcji liniowej o zadanych wiasnościach

interpretować współczynniki w równaniu kierunkowym prostej

4.3 R Znajdź wzór funkcji liniowej / wiedząc, że

a) /(-1) = 2 i /(3)=-2;

b) jsj wykres przecina oś OY w punkcie o rzędnej 4, a 2 jest miejscem zerowym funkcji /;

c) jej wykres przechodzi przez punkty A-(l,2) i fi = (5,6).

d) jej wykres przechodzi przez punkt C= (4, 3) i jest równoległy do wykresu funkcji g{x) = 3x+7;

e) jej wykres jest nachylony do osi 0X pod kątem 60° i przechodzi przez puiikt D = (1, 3).

f) / nie przyjniuje wartości dodatnich i /(22)=-3.

\x-2

FUNKCJA LINIOWA

4.4 W Prosta k przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest wykresem malejącej funkcji hniowej. Współ

czynnik kierunkowy prostej /: jest rozwiązaniem równania x + 12 = 3JC'+4J:. Podaj równanie prostej k.

4.5 R Dla jakich liczb rzeczywistych/; funkcja/Cr) = {7p + 3)x-2;?-8 jest rosnąca?

Zdający potrafi

* określać liczbę rozwiązań równania liniowego z jedną niewiadomą

4.6

Określ liczbę rozwiązań równania a) 2(.V + 5)^5(A--2): b) 2(.v + 5) = 5(x-2)-3x;

c) 2(.v + 5) = 5(x+2)-3x.

4.7

Określ liczbę rozwiązań danego równania w zależności od wartości parametru a. Dla tych wartości parametru a,

dla których istniejąrozwiązania. podaj te rozwiązania.

a)R2x + 3 = 3x-5a;

b)R2x-a'

= a + ax~6\

c) ax+5=5x~a\

a^x-3-9x+a.

4.8

Określ hczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametrów a i h. Dla tych wartości parametrów a i b,

dla których istniejąrozwiązania, podaj te rozwiązania.

a)Ra;i;-3=x+^;

b) a(x+l)^

h(x + 2).

Zdający potrafi

• rozwiązywać algebraicznie i graficznie układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi

4.9

Układ równań _^\ ma jedno rozwiązanie.

©[2;v-3y = 16 •' ^

a) Sprawdź, czy para liczb (x, y) = (2, -4) spełnia jedno z równań danego układu równań.

b) Podaj parę liczb (x, y), która spełnia równanie O i nie spełnia równania ® danego układu równań.

C) Sprawdź, czy para liczb {x,y) = {5, -2) spełnia dany układ równań, a następnie podaj rozwiązanie układu.

ynnoo

•-,,!,•

•, ,ij '

. f3.v + 2v = 9

^^ \6x + 7y = 8

. [2:c-y-.v+I

4.10 R Rozwiąż (algebraicznie) układ rownan

a) -^

;

b) ^

;

c) <

I 2x+y=l

[7x + 9>'-5

[

>'-j:-l

4.1 1 W Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

f ;( + v-3

a) 1

;

^. f3,^+2)- = -l

;

, f:(-0,5v = -l

„ f-2x+v-l

\2x~y = 3

L2.v-3v-8

[-2A-+V-2

|6.V-3>-0

Zdający potrafi

rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności liniowych z jedną niewiadomEt

rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi

4.12 R Za 36 dag szynki klient zapłacił 6 zł 48 gr. Ile kosztuje kilogram szynki?

4.13 R Cenę książki obniżono o 20%. Po tygodniu ponownie obniżono cenę o 10%, a po upływie kolejnego tygodnia

jeszcze o 6 zł. Jaka była początkowa cena książki, jeśli po obniżkach kosztuje 30 zł?

4.14 R Za rozpoczęcie jazdy taksówką pasażer płaci 4,50 zł, a za każdy przejechany kilometr 2,80 zl. Ile maksymalnie

pełnych kilometrów może przejechać pasażer posiadający 40 zł?

4.15 R Jalde to hczby dodatnie, których suma jest 3,5 razy większa od ich różnicy, a jedna z nich jest o 2,4 większa od

drugiej?

b) I

c) {

;

FUNKCJA LINIOWA

_41_

4.16 R Rozmieniono 10 złotych na monety 50-groszowe i 20-groszowe otrzymując razem 35 monet. Oblicz, ile otrzy

mano monet każdego rodzaju.

4.17 W Jeżeli do liczby dwucyfrowej dodamy cyfrę jedności, to otrzymamy 38. Jeżeli w tej liczbie przestawimy cyfry

i od otrzymanej liczby odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymamy 36. Znajdź tę liczbę.

Zdający potrafi

• rozwiązywać równania, nierówności liniowe z wartością bezwzględną

4.18 R Rozwiąż równanie

a) |.v-6|-2;

b) | |J:-3 |-21-1;

c) Ul + Zr+1=^0;

d) U--l|-i-U-+3|^4;

e) •jx'^+4x+4+3x+S = 0.

4.19 R Znajdź wszystkie rozwiązania nierówności |x|-2|.v-4|> 1 należące do

a) przedziału (-™; 0); b) przedziału {0; 4);

c) przedziału (4;-t-<»);

d) zbioru R.

4.20 R Rozwiąż nierówność

a) |.v|>3;

b) |x+2|<l;

c) |xl-f-x-2<0;

d) 2|x-l|+x<4.

4.21 R Dla iakich wartości parametru m równanie |x-2[ = 2m+] ma

a) jedno rozwiązanie;

b) dwa rozwiązania?

Zdający potrafi

• rozwiązywać układy rów nań liniowych z wartością bezwzględną

, „„

., , ,

, 2x+vhl

. 2x-v + 4 = 0

|x|-v-2

^ {\x\ + \v\=3

4.22 R Rozwiąż układ równań a)

" ;

" ,

c) \

;

d) ' ' '" ' .

I x+v-2

\y + l = \x-2\

.r^|v|-0

1 2x-y = 3

ZADANIA MATURALNE

RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE

123.

Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniające nierówność (x-5)^ + {x-V3)(V3'+x)>(2x+14)(x-7).

124. R Rozwiąż równanie {2-3v3)(x-2V3) = x + 8. Rozwiązanie zapisz w postaci a +/J^C", gdzie A, &, C są licz

bami całkowitymi.

125.

Niech A będzie zbiorem rozwiązati nierówności x-^^

<2x-8, a B zbiorem rozwiązań nierówności

x(x-4)+l>(x+l)^-6x.

a) Wyznacz zbiory A i B.

b) Zapisz w postaci przedziału zbiory A nB i B\A.

126.

Liczba a jest rozwiązaniem równania (2-x)'-yl5 = (x- l)(x-5), zaś liczba bjest rozwiązaniem równania

x^|5 = X + 2. Sprawdź, czy liczby a i /? są równe.

FUNKCJA LINIOWA

127.

Nierówność |6x-l ]<i2j+1 | możemy rozwiązać w następujący sposób:

• zauważmy, że dla każdego xeK wartości wyrażeń | 6x- 11 i 12x + 11 sąnieujemne, dlatego podnosząc

obie strony danej nierówności do kwadratu, otrzymujemy nierówność równoważną: 1 6x- 1 P< 12r+ 11 ;

• korzystając z własności wartości bezwzględnej: dla każdej liczby rzeczywistej a zachodzi równość

\a\'' = a^. dostajemy nierówność kwadratową (6x-l)"<(2x+1) ;

• rozwiązujemy otrzymaną nierówność: (6x- l)"<(2x+ 1)*^ <^ (6x- l)''-(2x+ 1) <0 <^

o (6x-l+2x+l)(6x-l-2x-l)<0 o 8x(4x-2)<0 •^ xe (0; 0,5);

• zatem zbiorem rozwiązań danej nierówności jest przedział (0; 0,5).

Stosując przedstawioną wyżej metodę, rozwiąż nierówność 1 3x-7|<| 5x-9 |.

128. Rozwiąż równanie V4x +20x + 25 +3x+8 = 0.

129.

Rozwiąż równanie |x| + |x-3| = 3.

130.

Rozwiąż nierówność ( x I +Vx^ -2x+\ < 2-.

131. R Dla jakich wartości parametru a równanie I x -

ma dwa dodatnie pierwiastki?

132.

Dlajakich wartości parametru a równanie U-

ma dwa pierwiastki różnych znaków?

133. R Równanie a{x + \)+x=b{x- l) + 5, gdzie x jest niewiadomą, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Znajdź

liczby a i b.

134.

Rozwiąż równanie (ł{x-\)-ah-b'^(._x-\-\)^-ab,

gdzie a i ^ są parametrami.

UKŁADY ROWNAN LINIOWYCH

135.

, {y = (x + 3f--{x-2f-

4-(5x + 3) = (y + l)'-(y-l}(>' + l)

136. R Rozwiązaniem układu równań \ ' jest para liczb x - -1 i y - 2. Znajdź liczby m i n.

4x + (0,5ff + 2)y-I-m ^ ^

137.

Na rysunku obok przedstawiono ilustrację graficzną pewnego

układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

a) Znajdź równania tego układu.

b) Rozwiąż algebraicznie znaleziony układ równań.

Rozwiąż układ równań

FUNKCJA LINIOWA

„___^

138.

Układ równań z niewiadomymi x i v ma postać I '

[ca + 4-y = c

a) Rozwiąż układ równań, gdy c/=l i c--2.

b) Dobierz współczynniki a i c tak, aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiąż

otrzymany układ równań.

139. R Rozwiąż ułdad równań \

[2x-\y\=4

140. R Rozwiąż algebraicznie i eraficznie układ równań \

[-.v+|y|=l

141.

Rozwiąż układ równań J 2jf - V = 3

FUNKCJA LINIOWA

142. R Funkcja / określona jest wzorem f(x) - 7LV + K^. Prosta k jest wykresem funkcji /.

a) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wartości nieujemne.

b) Oblicz współrzędne punktu przecięcia prostej k z wykresem funkcji gix)-x+Ti.

c) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt K- (-1, n) i równoległej do prostej k.

143.

Funkcja / olcreślonajest wzorem /U)-5x+3.

a) Podaj współrzędne punktu przecięcia wykresu funkcji / z osią OY.

b) R Wyznacz te argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wartości należące do zbioru A - (6; 9).

144.

Funkcja/określona jest wzorem f(x) = •\[3x + ^[6.

a) Znajdź miejsce zerowe /.

b) Sprawdź, czy liczba / ^'"3"^~ jest wymierna.

c) R Podaj niiarękątaostrego,jaki tworzy wylo-es funkcji g(_r)-x+0,01 z prostą będącą wykresem funkcji/.

145.

Funkcja / określona jest wzorem/(.v)=4x+ 1. O funkcji g wiemy, że

1) współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji g, jest liczbą przeciwną do współczyn

nika kierunkowego prostej będącej wykresem funkcji /;

2) miejsce zerowe funkcji g jest liczbą odwrotną do miejsca zerowego funkcji /.

Znajdź wzór funkcji g.

146.

Znajdź wzór malejącej funkcji f(x) = ax + h wiedząc, że wyki-es funkcji / nie przechodzi przez początek

układu wspóhrzędnych, a współczynniki a i b są rozwiązaniami równania

2x^-x^-x-0.

147. R Rozstrzygnij, czy wykresy funkcji/(x)-^x + 4, g(x)==j-x + 36 i h{x)--x+\24

przecinają się w jed

nym punkcie.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: