METODY PROBALISTYCZNE – WYKŁADY

29.02.2004 – wykład 1

Ø      dr Artur Barosiewicz

Klasyczna teoria prawdopodobieństwa

Ω={ ω 1, ω 2,....., ω n}

n – pewna liczba naturalna

- ilość elementów, moc zbioru Ω

Ω - przestrzeń prawdopodobieństwa (przestrzeń probalistyczna)

ω 1, ω n, .... – rezultaty (zdarzenia) elementarne

A,B,C,... - zdarzenia

Ø – zdarzenie puste (niemożliwe)

Ω – zdarzenie pewne

Własności prawdopodobieństwa

2Ω – rodzinę wszystkich podobieństw zbioru Ω

1)     prawdopodobieństwo jest funkcją odwzorowującą zbiór 2Ω w [0,1]

2)     P(Ø) = 0; P(Ω)=1

3)     Jeśli AB= Ø to P(AB)=P(A)+P(B)

Addytywność

Dowód

Jeśli ABto

Stąd

Twierdzenie

Dla dowolnych zdarzeń, A,B

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Definicja

Zadaniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy Ω \ A=A’

Własności zdarzenia przeciwnego A’:

1)     A’A = Ø

2)     AA’= Ω

3)     P(A’) = 1-P(A)

4)     (A’)’= A

Przykład

(Organicznie teorii klasycznej)

Rzucamy monetą do chwili wypadnięcia orła. Jakie jest prawdopodobieństwo że będziemy rzucać n-razy.

Model Kołmogorowa (aksjomatyczna definicja prawdopdobieństwa).

Ω – pewien zbiór

ω Ω

ω – zdarzenia elementarne

B – pewna rodzina podzbiorów Ω

AB

A – zdarzenie

Własności:

1)     Ø, Ω B

2)     Jeśli AB to A’= Ω\AB

3)     Jeśli A1,A2,A3,....B to

Własności:

1-2-3-B jest δ-algebry zbiorów

              (sigma)

Prawdopodobieństwo

D:B -> [0,1]

Własności:

1)     P(Ø)=0, P(Ω)=1

2)     Jeśli AiAj= Ø dla ij to

W szczególności:

Jeśli = Ø to P(A1A2) = P(A1) + P(A2)+....+P(An)

(Ω, B, P) – przestrzeń (trójka) probalistyczna

14.03.2004 – wykład 2

Prawdopodobieństwo warunkowe

I sytuacja klasyczna

B              A

II Przejście do sytuacji ogólnej

III Sytuacja ogólna

Def.

Def.

Zdarzenie A nie zależy od zdarzenia B jeśli P(A)=P(A\B)

Założenie P(B)≠0

Definicja

Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli

(brak założeń P(A)≠0, P(B)≠0!!)

Model Ω dla zdarzeń „fizycznie” niezależnych

Ω= ΩxΩ2={(w1,w2):w1Ω1, w2Ω2}

A={(w1,w2):φ(w1)}

B={(w1,w2): ψ (w2)}

A

AB

B

ψ(w2)

φ(w1)

Wzór na „prawdopodobieństwo całkowite”

Ω=B1B2...... Bn

lub

BiBj = Ø dla i≠j

Dla pewnego zdarzenia A dane są P(A\B1), P(A\B2) oraz P(B1), P(B2), ........ . Problem P(A)?

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+..........

              skończona suma lub suma szeregu zbieżnego

= P(A\B1)* P(B1)+ P(A\B2)* P(B2)+.....

              skończona suma lub suma szeregu zbieżnego

P(ABi)=P(A\Bi)*P(Bi);              i=1,2,...

Przykład (z żarówkami)

Sytuacja

Dane jak poprzednio

Zaszło zdarzenie A.

Pytanie: jakie jest prawdopodobieństwo, że zaszło ono przy warunku Bio (konkretnym)

P(Bio\A)=?

Wzór Bayesa:

P(Bi) – prawdopodobieństwo a priori

P(Bi\A) – prawdopodobieństwo a postriori

ZMIENNA LOSOWA I JEJ ROZKŁAD

Przykład:

Def.

Zmienną losową na przestrzeni zd. el. Ω nazywamy każdą funkcję X taką, że X:ΩàR (zbiór liczb rzeczywistych) oraz dla każdych liczb a, b

X-1((a,b)) jest zdarzeniem

X-1((a,b)) = {w:X(w)(a,)}

28.03.2004 – wykład 3

X:ΩàR

X-1((a,b)) jest zdarzeniem

Ten warunek pozwala mówić o prawdopodobieństwie takie że X przyjmuje wartości leżące w prawym przedziale.

Będziemy pisać:

P{w:X(w)(a,)}=P(X-1(a,b))=P(x(a,b))=P(a<X<b)

Rozkład zmiennej losowej

X „buduje” nową przestrzeń prawdopodobieństwa

ΩàR

B à pewna rodzina podzbiorów zbioru R zawierająca wszystkie przedziały!!

P à Px(a,b) = P(a<X<b)

P-d na prostej R „przetransportowane” z p-i probalistycznej

Ω wg wzoru:

Px(a,b) = P(a<X<b)

Nazywmy rozkładem zmiennej losowej

I. Zmienne losowe dyskretne (skokowe)

– zmienne losowe przyjmujące skończoną lub „przeliczalną” ilość wartości

x1, x2, .......... , xn

lub

x1, x2, .......... , xn, .....

W tym drugim przypadku wartości te nie należą gęsto w żadnym przedziale

Jeśli X ma rozkład dyskretny to istnieje ciąg (skończony lub NIE) liczb p1, p2, ...., pn .... taki, że pi>0

...